（借助虚功原理的）能量泛函法的个人总结，请大家指正。

（借助虚功原理的）能量泛函法的个人总结，请大家指正。

 

1）有限元法的导出大概分为直接刚度法、（借助虚功原理的）能量泛函法和加权余量法。直接刚度法适合于应力和应变有明确关系的问题；能量法适合能建立能量泛函的问题；加权余量法适合一切问题，但通过加权余量法导出的有限元法需要变分法等知识，现对更抽象。

2）（借助虚功原理的）能量泛函法的核心思想是单元的信息（比如应力、位移、应变等）用节点的信息表示，暂且称为转换思想，这和有限差分法的用差分表示导数的思想是一致的。只要应力和应变时线性关系，对每一种特定形状的单元，这种转换的过程是一样，所以产生形函数的概念，适合了计算机呆板的特点。

3）单元的信息（比如应力、位移、应变等）往往是无法确定的，不过可以写成一个方程组（很多教材称为刚度方程）。由于应力和位移都是按整体坐标系进行分解的，刚度矩阵很容易总装，建立总的方程组。很明显，网格越细，单元越多，方程数越多，内存和cpu的压力越大。

4）最需要注意的是，插值函数和虚功对应，因为插值是一个假设，虚功也是假设。假设越合理，结果越准确。所以使用高阶次的插值函数，会带来更靠近实际的结果。很显然，这就得付出和再细分网格一样的代价，比如平面定义域里面，三角形单元，一般是六个待定系数（u=a0+a1x+a2y;v=a3+a4x+a5y），如果提高一个阶次变成12个待定系数（u=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x^2+a5y^2;v= a6+a7x+a8y+a9xy+a10x^2+a11y^2）。方程数大大增多了。

6）既然再细分网格和采取高阶次的插值函数往往不经济，人们想到第三种方法，就是使用边数更多的单元（比如使用四边形代替三角形，使用六面体代替四面体）。首先遇到的问题是分割之后，（以四边形为例）得到的四边形形状各异，无法使用统一的格式进行积分，这就无法用计算机代劳，比如你说x和y的积分上限下限是多少呢。但是人们很快找到了方法，人们想，既然虚功是假设，插值也是假设，我们为何不把千奇百怪的四边形都用一个正方形带代替呢。只要这个正方形能代表原四边形（或者说正方形和四边形的点之间都是一一对应的函数关系）便可。

7）在（借助虚功原理的）能量泛函法的发展中，有限元其实经历了两次思想的飞跃，首先是使用节点信息代替单元任意点的信息，之二是用正方形代替代替任意四边形（当然等参单元只用于局部坐标），这和有限差分的用微商代替导数的思想是一致的。

8）最后需要指出的是，所有学科都是统一的，比如结构力学里面的两个几何量（挠度和转角），弹性力学里面的两个位移（u和v），理论力学的两种应变（线应变和切应变），其实都是一回事，两个变量的不同表示而已。

 

（借助虚功原理的）能量泛函法的个人总结，请大家指正。