循环对称结构模态分析

对于叶轮机，螺旋桨，电机等这一类具有循环对称结构的机械来说，其建模分析应充分利用此类结构的特点—重复性和轴对称性，只需通过对基本扇区的建模分析并对结果加以扩展即可得到整体结构的结果。对于模型复杂、扇区较多的结构利用循环对称分析可以极大的降低计算规模，减少求解时间。

1.基本理论

通常结构的动力学基本模型可以表示为：

式中M、C、K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。

U代表各节点的位移，f为结构的外力。

结构的循环对称边界条件可表示为：

ua，ub分别为低角度边的基本扇区位移和复制扇区位移

U_a^{`</sup>，U<sub>b</sub><sup>`}分别为高角度边的基本扇区位移和复制扇区位移

k表示谐波指数，α为扇区角度，N为扇区数量。

2.算例模型

模型的基本参数如下表所示：

	材料参数		几何参数
弹性模量	2E11 Pa	扇区数量	18
泊松比	0.3	叶片长度	1 m
密度	8000 kg/m3	叶片厚度	0.05 m

算例模型及模型的对称边界区域如左图所示，扩展后的模型如右图：

在实际操作中需保证对称边界上几何体的一致和网格节点的一一对应。设置好模型的边界条件后还需要施加模型的转速并先进行预应力求解，本例施加的转速为1500r/min。最后再进行常规的模态分析。

3.结果分析

由于分析对象是循环对称结构，所以最终模态结果是按照节径数排列的。节径是指循环对称结构在某一确定的模态下振动时相位为0的线。通过节径我们可以知道结构有几种对称振动方式。节径的数值范围是从0到N/2 。

模态频率随节径变化图

对于旋转机械通常还需绘制campbell图，从campbell图中可以得到机械旋转频率与固有频率的交点，这些交点正是结构实际使用时的共振点，应使工作频率远离这些共振点以避免结构的损坏。

Campbell图

算例的campbell图如上图所示，从图中可以看到结构的固有频率（浅蓝色曲线）和二倍的工作频率（紫色直线）在转速为1000r/min时有交点。如果这个机械在此转速下工作将是非常危险的。

最后是两个该模型的振型图（一节径第五阶振型，二节径第三阶振型）。