聊一聊应力状态，有误请包涵指正
我们最早接触应力的概念其实可以追溯到小学自然课本，其中介绍了什么是压强，它等于压力除以受力面积。我们再一次研究压强这个概念，是在初中物理，假如水的密度为ρ，重力加速度为g，静水中深度为h的地方，其压强为P=ρhg。
静水压力的讨论
取静水中一滴十分微小的水滴进行研究，其上方的水“压着”它，其下方的水“托着”它，显然“压”和“托”的力道是一样的，不然这滴水就会上下运动了。这滴水受到上下的挤压，会有被“压扁”趋势，即产生了向“前后左右”扩散的趋势，也就是说它向“前后左右”挤压其周围的水。同理，其“前后左右”的水也受到上下的挤压，也要“前后左右”扩散，也在挤压我们研究的这滴水。因此，这滴水的压强是来自于四面八方的。
下面再来分析这滴水各个方向压强的大小是如何分布的。以下的叙述不够严谨但是有助于理解。取图示的两个等腰直角三角形紧挨着的水滴，他们受到上下方向的挤压，将会有沿交界面相对滑动，但是实际中水是静止的，因此一定需要水平方向的力来平衡它。因为水是可以流动的，不能够承受剪切力，因此在交界面上只有垂直于交界面的力。只有水平方向的压强与竖直方向的压强相等时，图中的两个水滴才能保持静止。
至此，我们可以把静水中的水滴受到的应力状态完整的描述清楚，即静水中的水滴受到来自“四面八方”的压应力，并且各个方向的应力大小相等，方向垂直于水滴表面。可见，一点的应力状态仅仅用一个数字是表示不清楚的，它比速度，位移这样的矢量要复杂，因为应力状态并不是单一方向的，它是“四面八方”都有作用。这种在“四面八方”都有作用，并且要满足一定变换关系的物理量，称为张量。通过以上的感性认识我们可以了解到，正是静水不能承受剪切力这一性质，导致了静水中一点的压强在各个方向上均相同。在我们了解应力张量的性质以后，也能够利用应力张量的性质证明以上观点。
应力是力的密集程度
先来说清楚在某一指定方向上应力是如何定义的。小学的知识告诉我们压强等于压力除于作用面积，这是假设压力是平均分布在作用面积上的。但实际往往不是这样。假如某一物体，其受到外力的作用，处于静力平衡状态，我们将这一物体切开，分为A、B两个部分，显然A、B两部分在交界面上有相互作用。现在将B移除，在交界面上对A施加一个分布力，这个分布力对A的作用与B对A的作用完全等效。
取截面上的一小部分，其面积为ΔA，其上作用的力为ΔF,在ΔA上的平均应力为P=ΔF/ΔA,当ΔA取的足够小，P就为该点的应力，方向于ΔF的方向一致。即
由此可见应力是力在某一作用面积上的密集程度。将P分解到截面的法线方向和截面所在平面，就得到了该点的正应力和切应力。如果我们将物体在某一点沿任意方向切开，就可以完整的弄清楚这一点的应力状态，但这样做是不现实的。
应力状态的表示方法
一般我们只把物体沿三个相互垂直的方向切开，得到三个方向的应力，用这三个应力就能够完全描述该点的应力状态。根据力的平衡条件，利用这三个应力可以计算该点任意方向的应力，为方便，一般取垂直于坐标轴的三个截面，将各个截面上的应力沿坐标轴分解，就得到了各个截面上的正应力和切应力，可见每个截面上有一个正应力和两个切应力。
如图取法向为Y轴的截面，可以得到该截面S点的正应力σy，切应力τyx和τyz，同理，再取法向为X轴和Z轴的截面，得到S点的应力σx、τxy、τxz和σz、τzx、τzy。因此S点的应力状态可以表示为：
物体两个部分之间的力是一对作用力与反作用力，因此上图中应力P与P’是大小相等，方向相反的。为了较为直观的说明应力分量之间的关系，考虑二维的情况。在平面内取一微小的正方形，该正方形右侧物体对正方形作用的应力为（σx，τxy），正方形左侧物体对正方形作用的应力为（σx’，τxy’），由于取的正方形足够小，可以认为（σx，τxy）=-（σx’，τxy’），同理，（σy，τxy）=-（σy’，τyx’）。只有τxy=τyx，并且旋转方向相反时，才能保证微小正方形不旋转，这就是切应力互等定理。
由于切应力互等，应力张量是对称的，9个应力分量只有6个是独立的。
如何通过这6个应力分量计算S点任意方向截面上的应力呢，即如何计算斜截面上的应力，针对下图的四面体微元体，根据力的平衡方程就可以推到出计算公式，需要注意的是，力等于应力乘以面积，每个面的面积不能算错。
最终可以得到：
其中σn表示法向为n的截面上的应力矢量，cosθ1、cosθ2、cosθ3为法向n的方向余弦。不断改变法向n，即可得到一系列不同方向截面上的应力矢量，这些应力矢量的末端在空间中形成一个椭球，如图所示：
静水中各个方向的应力相等，因此静水压力的应力椭球是一个球体，静水压力的应力张量又称为球形应力张量。
应力具有三个不变量：
分别称为应力的第一不变量，第二不变量和第三不变量，应力不变量的大小与坐标的选取无关，因此是坐标不变量。其中| |表示矩阵的行列式。
同样是上图S点处的应力，我们改变坐标轴的方向，用垂直于新的坐标轴的三个平面将物体在S点处切开，将会得到一组新的应力分量，大多数情况下这组新的应力分量与老的应力分量是不同的。
由于坐标轴不同，导致应力分量不同，但是这两组应力分量都描述了同一种应力状态。因此，在描述一点的应力状态时，也应该说明是在哪个坐标系下描述的
主应力
不断改变坐标轴的方向，当坐标轴改变到某一方位时，应力分量中的切应力分量全为0，我们称此时的坐标轴方向为S点的应力主向，此时的三个正应力称为主应力，按照大小顺序称为第一主应力σ1，第二主应力σ2，第三主应力σ3，即σ1≥σ2≥σ3。以第一主应力、第二主应力、第三主应力所在方向定义坐标系的XYZ轴，这个坐标系所描述的空间称为主应力空间。
若将应力不变量用主应力表示，则有：
最大主应力和最小主应力分别是该点任意截面上正应力的最大值和最小值，并且三个主应力一定是相互垂直的。利用斜截面应力计算公式，可以求得：最大剪应力所在平面与主应力σ2平行，与主应力σ1、σ3的角度为45度。其大小为：
应力状态的分解
如果应力状态的三个主应力当成主应力空间中的坐标，那么主应力空间中任意一点就代表了一种应力状态。过主应力空间原点作一条与三个坐标轴具有相同夹角的直线，其方向余弦为（
），该直线称为静水压力轴，其上任意一点所代表的应力状态为σ1=σ2=σ3，为静水压力状态。以静水压力轴为法向，过坐标原点的平面称为π平面。π平面上的应力状态有σ1+σ2+σ3=0，为偏应力状态。如下图所示，对于任意的应力状态(σ1,σ2,σ3)，均可以将其在主应力空间中分解到静水压力轴上和π平面上，分别是静水压力部分σm和应力偏量部分s，这在塑性力学上是十分重要的。静水压力部分使物体产生体积变化，应力偏量部分使物体产生形状变化。
因此，静水压力部分的应力状态为：
自然的，应力偏量部分为：
由于应力偏量的主应力之和等于0，即
可以得到
静水压力应力状态在主应力空间中的矢量长度为
应力偏量s在主应力空间中的矢量长度为
用π平面将物体切开，根据斜截面应力的计算公式，切开后该点的应力为:
将应力矢量投影到切面的法向，也就是静水压力轴方向，得到切开面上的正应力的大小也等于σ0。
切面上的切应力的大小为
研究所有法向量为
，过主向空间原点的平面，这样的平面一共有8个，π平面是其中之一。发现这些面上的正应力、切应力的大小与π平面的情况相同，均为
将这些面沿着各自的法相平移同样的距离，就构成一个八面体，因此将这些面统称为八面体面。这些面上的应力在塑性理论中是十分重要的。
对于mises屈服材料，例如钢，当τ大于某一个阈值R时，认为材料进入屈服阶段，这个阈值可以通过材料的单轴拉伸试验获得。mises屈服条件可以理解为：主应力空间应力矢量的末端落在以静水压力轴为轴线，R为半径的圆柱体外，那么材料进入屈服。更为准确的理解是：当形状改变能(畸变能)或八面体上的剪应力达到某一阈值时，材料进入屈服。对比理想的mises屈服材料，主应力空间中的主应力矢量并不会落在这个圆柱以外，当主应力矢量接触到圆柱，并且还要继续向圆柱外运动时，圆柱的半径会随着主应力矢量的外移而扩大，圆柱扩大的过程就是材料屈服的过程，扩大前的圆柱外表面就是初始屈服面，扩大后的圆柱外表面就是后继屈服面。因此，输入给有限元求解器的应力-应变曲线，本质上是输入了屈服面（圆柱外表面）的扩大过程。
若干有关应力的概念
定义von mises等效应力
有限元软件中就是以von mises等效应力的大小显示von mises应力云图的。当然也可以让有限元软件将主应力以箭头的方式显示出来，这有助于我们更深刻的理解物体内部的受力情况，下图显示了某一物体内部的第一主应力。
定义应力三轴度等于静水压力除以von mises等效应力：
应力三轴度反应了π平面应力矢量与静水压力轴之间的夹角情况，也反映了π平面应力矢量与三个坐标轴的夹角情况，因此这个物理量的名称当中有“三轴度”三个字。给定一个应力三轴度值，相当于给定了一类应力状态。如果σ1，σ2，σ3同時大于0或同時小于0，这类应力状态的π平面应力矢量的末端在主应力空间中形成2个锥形，锥形的轴线是静水压力轴。
如果还要将给定应力三轴度的应力状态分类，就需要用到罗德角。将主向空间中的坐标轴投影到π平面，则三个坐标轴的投影呈120度夹角，在1轴和2轴之间，过原点在π平面的投影点，作垂直于2轴投影的直线，由该直线逆时针转至主向空间应力偏量矢量的角度，称为罗德角。
给定罗德角，相当于在锥面上指定了一条母线。罗德参数
