E-N曲线的生成

本贴是Optistruct低周疲劳分析中软件计算E-N曲线的方法

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如下图所示，Optistruct低周疲劳分析的E-N曲线由以下几个参数构成：              σ_f——疲劳强度系数（Fatigue strength coefficient）

b——疲劳强度指数（Fatigue strength exponent），金属材料通常在 -0.04 ~ -0.15之间

c——疲劳延性指数（Fatigue ductility exponent），金属材料通常在 -0.3 ~ -1之间

ε_f——疲劳延性系数（Fatigue ductility coefficient）

n——循环硬化指数（Cycle strain-hardening exponent）

K——循环强度系数（Cycle strength coefficient）

Nc——疲劳寿命(循环次数）截止点 (软件默认为2×10⁸)

下面将分别说明这几个参数的计算

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       上图是一个标准的E-N曲线图，总的E-N曲线（Total）由2部分组成，分别为弹性主导区（Elastic）曲线和塑性主导区（Plastic）曲线。弹性主导区与塑性主导区之间的寿命转折点（Transition life）为2N_T。

       Morrom于1965年发表的文章 《Cyclic plastic strain energy and fatigue of metals》中指出，金属材料的总应变幅（ε_a）和疲劳寿命（2N_f）之间存在如下关系，即应变寿命方程：

       这个方程由弹性应变幅（ε_a^e）—寿命（2N_f）方程和塑性应变幅（ε_a^p）—寿命（2N_f）方程相加组成。

       其中，弹性应变幅（ε_a^e）—寿命（2N_f）方程为：

       塑性应变幅（ε_a^p）—寿命（2N_f）方程为：

       注意，方程中的e和p代表的是elastic和plastic，即用来说明是弹性还是塑性，并不是指数。E 为弹性模量。

       由以上2个公式可知，在对数坐标系下，弹性应变幅（ε_a^e）与塑性应变幅（ε_a^p）和疲劳寿命（2N_f）之间是线性的，求解E-N曲线的本质就是求解这两个线性线段。

       下面我们将问题缩减为求解对数坐标系下应变幅与疲劳寿命之间的线性关系。

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_{1、塑性应变幅（εa^p）与寿命（2Nf）之间的关系}

       设X =lg（ε_a^p）， Y=lg（2N_f），对数坐标系下塑性主导区线段的截距为A ，斜率为B，则：

        将方程（2）两边取对数可以导出：

        进行简单的对数运算可以得到：

        对比公式（3）和公式（4）可以得到：

       将上式的数据进行转换得到：

       通常，在对数坐标系下，将疲劳试验结果的塑性应变幅与循环次数（疲劳寿命）做线性回归，可以得到截距A和斜率B，进而计算得到c（Fatigue ductility exponent）和ε_f（Fatigue ductility coefficient）的值，从而确定塑性主导区的应变幅—寿命关系。为了简化，Optistruct将铝合金的c定为了-0.69；钢材的c定为了-0.58。

        小结：

        构成E-N曲线塑性主导区的参数有2个，分别为 c 和 ε_f 。其中c 为对数坐标系下塑性应变幅—循环次数（疲劳寿命）线段的斜率； ε_f 为循环寿命（2N_f）为1时的塑性应变幅，即E-N曲线的起点。

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2、弹性应变幅（ε_a^e）与疲劳寿命（2N_f）之间的关系

       方法与上面塑性应变幅和疲劳寿命的关系推导完全相同。

      设X =lg（ε_a^e）， Y=lg（2N_f），对数坐标系下弹性主导区线段的截距为A ，斜率为B，则：

       将方程（1）两边取对数可以导出：

       进行简单的运算可以得到：

        对比公式（5）和公式（6）可以得到：

        将上式的数据进行转换得到：

      通常，在对数坐标系下，将疲劳试验结果的弹性应变幅与循环次数（疲劳寿命）做线性回归，可以得到截距A和斜率B，进而计算得到 b（Fatigue strength exponent）和 σ_f（Fatigue strength coefficient）的值，从而确定弹性主导区的应变幅—寿命关系。为了简化，Optistruct将铝合金的 b 定为了-0.095；钢材的 b 定为了-0.087。

        小结：

        构成E-N曲线弹性主导区的参数有2个，分别为 b 和 σ_f。其中c 为对数坐标系下弹性应变幅—循环次数（疲劳寿命）线段的斜率；σ_f为循环寿命（2N_f）为1时的弹性应变幅。

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3、循环硬化指数 n 与循环强度系数 K 的确定

       Ramberg 和 Osgood于1943年发表的文章《Description of stress –strain curves by three parameters》中第一次使用循环硬化指数 n 与循环强度系数 K 描述塑性应变，其关系为：

       将上式进行简单的变换，得到：

其中： ε^p——塑性应变

            σ——真实应力

            K——循环强度系数

            n——循环硬化指数

        将公式（8）两边取对数得到公式（9）：

        由公式（9）可知，在对数坐标系下，塑性应变（ε^p）与真实应力（σ）之间是线性关系。

        设X =lg（ε^p），Y=lg（σ），在对数坐标系下塑性应变与真实应力线段的截距为A ，斜率为B，则：

                                                                    Y = A + BX                                     (10)

        对比公式（9）和公式（10），得到：K = 10^A；n = B

        如此，只要我们得到材料的真实应力-塑性应变曲线，将其取对数后做线性回归，就可以得到方程  

 Y = A + BX 中的 A 和 B 的值，进而计算出该材料的循环强度系数（K）和循环硬化指数（n）。

        Optistruct为了简化，将钢材的 n 值定为了0.15，K 值定为了1.65*UTS；铝合金的 n 值定为了0.11，K 值定为了1.61*UTS。（UTS表示材料的抗拉强度）

        通过本贴的方法可以计算出材料准确的循环强度系数（K）和循环硬化指数（n），提高仿真分析的准确性。

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总结：

        本贴讲述了Optistruct自动合成E-N曲线的计算方法，给出了构成E-N曲线的6个主要参数σ_{f 、}b、c、ε_{f 、}n、K 的计算方法，帮助读者合成自己所需的E-N曲线用于低周疲劳分析。

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