转子动力学系列（二）：不平衡响应分析

1.问题描述

如下图所示刚性支承两圆盘转子，圆盘质量m=102kg，半径R=500mm，转轴的直径d=50mm，a=400mm，设圆盘偏心e1=0.05mm，e2=0.03mm，φ1=30°，φ2=60°。求该转子涡动频率、振型、临界转速及不平衡响应。（详见《转子动力学》钟一谔 第二章刚性支承多圆盘转子的临界转速和不平衡响应，例子源于P29）

刚性支承两圆盘转子

设圆盘的质量、直径转动惯量和极转动惯量分别为mi、Jdi和Jpi（i=1，2）、各轴段长为a，抗弯刚度为EI，其运动微分方程为：

其中

柔度矩阵是

而

因此系统在xos平面的运动微分方程是

为求转子的模态频率及模态振型，只需通过在任一固定平面内的运动微分方程即可求得，令

代入上式

故频率方程为

这是一个有关w的8次代数方程，对于给定的Ω，可解出4个正向涡动角速度和4个反向涡动角速度。绘制涡动角速度随自转角速度变化曲线可得坎贝尔图，令Ω分别等于±w代入频率方程，即可分别解出在同步正涡动和同步反涡动下的临界转速。

所谓转子的临界转速通常是指同步正向涡动时的临界转速。对于本算例的两圆盘转子系统，临界转速只有两个，即1158r/min和3183r/min。

在无阻力情况下，当各圆盘具有偏心的不平衡质量时，令

则转子的运动微分方程可写成

其中

设不平衡响应的特解为

其中{A}为待定的复数列阵。把特解代入运动微分方程可得

这是2N个线性非齐次代数方程组，对于给定的Ω，上式等号左边各项系数均为实数，可以解得

因为{Q}是2N阶复数列阵，其中有N个元素为零，故{A}中每一元素均为N个复数之和，即仍为一复数，故可表为

其中ai、ei（i=1，2，...N）都是已确定的值，代入特解可得

对于本例子，把数据代入特解表示的运动微分方程可得

其中

则当Ω=250 1/s时，可解得

2.APDL分析

采用MASS21单元模拟圆盘，采用BEAM188单元模拟转轴，轴的支承处为简支约束。

后处理中采用PLCAMP命令得到坎贝尔图如下。

从图1可以看出，转子的临界转速按阶数由低到高分别为546.41prm、1148.76rpm、2217.89rpm、3162.96rpm、2097.02rpm、0、3591.12rpm、0，与理论解一致。

在谐响应分析中，以复数形式输入偏向质量所产生的不平衡力（X轴为旋转轴）。

对于圆盘1为

对于圆盘2为

在后处理中采用PLVAR命令输出圆盘1和圆盘2节点的总位移变化曲线。

从图2可以看出，曲线在19.2Hz和52.7Hz出现峰值，该两个峰值频率对应同步正进动（涡动）临界转速1152rpm和3162rpm，与模态分析结果相对应。

当频率为19.2Hz时，采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。

当频率为52.7Hz时，采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。

当转速为250 1/s，即39.8Hz时，采用PLORB命令转子系统的轴心轨迹图如下。

采用PRORB命令输出该转速下的轴心轨迹数据，两圆盘中心轨迹为

图6中A代表椭圆的长轴、B代表椭圆的短轴，圆盘1的轴心轨迹是半径为0.797e-4m的圆，圆盘2的轴心轨迹是轨迹为半径0.308e-4m的圆，与理论解一致。

3.Workbench分析

在WB中，先做模态分析，得各阶振型、坎贝尔图及临界转速；再做谐响应分析，得到指定不平衡力引起的幅值和相位随频率变化曲线，同时可以在后处理中扩展commands查看结果；最后还可以把结果导入经典APDL中丰富后处理。

分析模块

坎贝尔图

在谐响应分析后处理中采用chart得到圆盘1和圆盘2的总位移随频率变化曲线。

从上图可以看出，曲线在19.2Hz和52.5Hz出现峰值，该两个峰值频率对应同步正进动（涡动）临界转速1152rpm和3150rpm，与模态分析结果相对应。

在38.9Hz下的转子系总位移云图（直接后处理与插入commands对比）

直接后处总位移云图

插入commands显示总位移云图

把WB的结果导入经典APDL中，丰富后处理结果，下图为39.8Hz下的轴心轨迹图。

4.结果对比

临界转速结果对比

临界转速

一阶反

一阶正

二阶反

二阶正

三阶反

三阶正

四阶反

四阶正

理论解

-545

1158

-2100

3183

-2223

0

-3518

0

APDL

546.41

1148.76

2217.89

3162.96

2097.02

0

3591.12

0

WB

546.27

1147.1

2214.1

3148.3

2093.5

0

3568.8

0

两圆盘轴心轨迹对比（39.8Hz下）

圆盘1

圆盘2

理论解

0.7718e-4

0.3181e-4

APDL

0.797e-4

0.308e-4

WB

0.80675e-4

0.32761e-4

5.分析过程

• 建立d=50mm，l=1200mm线体模型导入Mechanical中，在圆盘的位置添加质量点来模拟圆盘如下：

分析过程及命令流、源文件详见付费内容

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转子动力学系列（三）：不同建模单元对比（BEAM188与SOLID186）

转子动力学系列（二）：不平衡响应分析

转子动力学系列（一）：临界转速与坎贝尔图