什么是自然对流Boussinesq假设？

电子散热冷却中经常采用Boussinesq假设来计算自然对流散热，该方法计算速度快，计算稳定性高。

本文主要讲述采用Boussinesq假设的自然对流原理、关键点及应用条件，下一篇会讲述具体的应用案例。

• 为什么要采用Boussinesq假设？

自然对流主要由于密度受热变化产生密度差造成，该现象可用如下的可压缩N-S方程描述。

一方面可以看到该方程是高度非线性的，这种特性会造成求解变得不稳定；另一方面可以看到该方程需要求解的变量非常多，包括速度场u、v、w，压力场p，密度场ρ等，内存需求比较大。

Boussinesq假设即为解决上述问题而产生，当然既然是假设，自然有一些适用前提，Boussinesq假设气体密度变化非常小。

• Boussinesq假设在方程中如何表现

好吧，下面讲述一些枯燥的理论，即Boussinesq假设如何在方程中表现。主要分为以下几步：

1.把气体密度ρ写成参考密度项ρ0与由于温度引起的密度变化项△ρ之和。

根据假设，其中△ρ远小于ρ₀。

2.把方程（3）代入上述N-S方程（1）、（2），并得到如下方程。    

自然对流中浮力是驱动力，因此动量方程（5）中的浮力项也是占主导作用，且密度变化△ρ远小于参考密度ρ0,因此对于瞬态项、对流项可以忽略△ρ，即

最终简化为

可以看到此时瞬态项、对流项的密度已被消去，只剩下浮力项还带有密度，我们的目标是把浮力项中的密度也消去，这样方程的非线性、内存需求都会降低。

3.浮力项密度可以用温度代替吗？带着这样一个疑问，在消去浮力项密度之前，首先定义一个名词：热膨胀系数β。

热膨胀系数即为在定压力下，密度随温度变化的相对变化率，可用气体运动热力学理论解释，如图所示，在箱体未加热时，上层活动板在大气压力下保持平衡，当箱体加热时，气体运动加剧，气体温度上升，箱体体积膨胀，活动板上升，密度降低，该现象可用热膨胀系数表征箱体膨胀程度的大小。

4.接着把热膨胀系数作线性化，然后做一些整理，最终得到方程（18）形式，此时密度终于和温度联系到一起。

5.把密度和温度的关系带入到浮力项中，最终得到Boussinesq假设下的自然对流求解方程。

其中T0为参考温度，通常取室温或环境温度，β为热膨胀系数。可以知道，该方程消去了密度项，非线性和内存需要都降低，计算稳定及计算速度都会得到提升，这也是Boussinesq假设下受欢迎的原因。

• Boussinesq假设适用的具体条件

Boussinesq假设适用场景非常关键，这也是我们经常忽略导致计算精度不高的主要原因。

如前所述，Boussinesq假设适用于

我们可以写成如下形式：

密度相对变化率远小于1，通常认为<1%。密度变化还不够直观，通过热膨胀系数表达式，可以转化为温度变化适用条件：

为更有sense一些，如果以1%为最大误差的话，通常在室温下，认为温度变化在以下范围，Boussinesq假设均适用。

如果想要更简单直接的作判断，

• 当△T<15℃且Ma<<1，Boussinesq假设是适用的；

• 当△T>15℃或Ma>0.3，还是采用可压缩N-S方程形式吧。

[1]https://www.fluidmechanics101.com

[2]Computational Methods for Fluid Dynamics,J.Ferziger&M.Peric

[3]ANSYS Fluent User Manual

---

                                                         CFD理论及相应案例介绍，欢迎关注