带内热源的UMATHT子程序入门小例子

        最近用到了相变生热这部分的内容，技术邻查了没找到对应的教程。自己探索了一段时间，下面将在abaqus帮助文档里的例子基础上。结合传热学的理论，介绍在UMATHT实现内热源生热，并与用abaqus的HETVAL子程序的结果做对比，验证正确性。（注：这个例子很简单，大家可以根据需要进一步开发）

1.导热微分方程

        为了更好得理解UMATHT需要定义变量，先介绍一下一维导热微分方程（三维可类似推广）。

基于能量守恒定律，以上图一维导热微体积元为例，流入体积元内的热量+内生热量等于内能的变化+流出体积元的热量，如下式：

将能量的具体表达式代入：

其中,q是热流密度(W/m2)，A是体积元一个截面的面积(m2)，Q是生热量(W/m3),detaU是内能变化(J)，方程左右两边的单位是对应的1J=1W/s。(单位用m,s对应的)

下面用傅里叶定律和内能变化的公式表示热流密度和内能变化：

其中K是热导率(W/m/K)，代入(2)式：

消掉相同的项、移项，两边同时除以Adxdt，得到:

        从这个偏微分方程中可以看出，我们给出热导率、内热源项、比热容、密度这些参数。结合初始条件、边界条件就可以求解温度场。

2.UMATHT简要介绍 

        UMATHT主要是用来定义材料的热本构，适用于带内热源的传热过程。与UMAT必须定义雅可比矩阵和更新后应力类似，下图中列出了UMATHT在使用过程中必须定义内能随温度的变化等变量：

        包括U内能，(这里需要注意一下，U的单位是单位质量的内能与前面方程中推导的过程中不同，后面加入内热源项需要考虑)。其他变量在后面的例子中再介绍。

2.带内热源的小例子

        建一个1m*1m*1m的立方体，给定密度7900(kg/m3)，热导率50(W/m/K)，比热容500(J/kg/K)。hetval子程序使用的时候要在Thermal中选择Heat Generation，要不然子程序不起作用。

初始温度0度，时间步长5s总共50s。HETVAL子程序里面FLUX的单位是(J/m3/s)，根据detaU=c*m*dt只有内热源产热的时候升温速率每秒升高10度：

在HETVAL中给定FLUX(1):

提交计算，结果符合理论：

        下面介绍UMATHT子程序中实现相同的效果，在UMATHT子程序中的设置如下：

主要是内生热量的转换，在hetval中是J/m3/s，而在UMATHT中U的单位是J/kg。需要除一下密度转换成J/kg/s，通过dU更新时要在乘dtime转化成J/kg。其他的内容可以根据给出的公式及abaqus帮助中的例子理解。

结果如下，与HETVAL是一致的：

        当然如果你的生热模型中相变潜热等内生热量的单位是J/kg，不是温度和时间的函数而只是温度的函数，直接在更新du的时候加上潜热就可以了，不用乘dtime。这个可以参考abaqus的umatht中的另一个例子。

附件中给出了所用模型cae，inp和hetval、umatht文件。