数值计算|控制方程及单值性条件

导读：计算流体力学中的流动与传热过程都遵循3个基本物理定律：质量守恒、动量守恒及能量守恒。本文介绍这些定律的数学表达式-控制方程，以及使一个过程区别另一个过程的单值性条件(初始条件及边界条件)

控制方程通用形式

流动传热过程中的3个基本物理定律均有各自的数学描述(控制方程)，具体参见本节后面部分，但这些描述方式有统一的表达形式，即控制方程的通用形式：

当流动传热过程伴随质量交换时，控制方程还需要增加组分守恒定律：

1. 质量守恒定方程：[单位时间内为微元体中流体质量的增加]=[单位时间内流入微元体的净质量] 

2. 动量守恒方程：[微元体流体动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 

3. 能量守恒定律： [微元体内热力学能的增加率]=[进入微元体的净热流量]+[体积力与表面力对微元体做的功] 

控制方程的类型

控制方程主要有两大类-守恒型及非守恒型，两者区域在于控制方程左侧对流项的表现形式。(对流项表示流动在单位时间内单位面积上进入微元体的某个物理量净值)

守恒型：上述的通用形式控制方程：

其对流项均采用散度(divergence)的形式表示，这种形式称为守恒型控制方程。

非守恒型：

质量守恒方程： 

动量守恒方程： 

能量守恒方程： 

守恒型与非守恒型的比较：

守恒型与非守恒型都是守恒定律的数学表达。

由于数值计算是对有限大小的计算单元进行的，对于有限大小的计算体积，两种形式的控制方程则有不同的特性。凡是从守恒型的控制方程出发，采用控制容积积分法导出的离散方程可以保证守恒特性，而从非守恒型控制方程出发所导出控制方程未必具有守恒特性。

比如说在计算可压缩流动时，守恒型控制方程可以使激波的计算结构光滑且稳定，而应用非守恒型得到计算结果会在激波前后引起解的震荡，导致错误的激波位置。

单值性条件

前面的控制方程适用所有牛顿流体的流动及传热。而每个不同的流动传热过程则是通过单值性边界条件（初始条件及边界条件）来确定。初始条件：研究对象在开始时刻各个求解变量的空间分布。

边界条件：求解区域的边界上所求解变量或其一阶导数随地点及时间的变化规律。

例如：在固体边界上设置无滑移边界条件，即固体边界上流体速度等于固体表面速度，当固体表面静止时： 。

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