第三章 模态分析

3.1 为什么要计算固有频率和模态

1） 评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。

2） 评估载荷的可能放大因子。

3） 使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬态分析中时间步长的选取等）

4） 使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法

5） 指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。

6） 评估设计

3.2 模态分析理论

考虑

假设其解为

代入得到特征方程

或

其中，

1） 对N自由度系统，有N个固有频率（，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共振频率。

2） 与固有频率对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰度图

3） 当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合

例子：

3.3 自然模态与固有频率性质

（1）

正交性

（2）的单位

单位为rad/s, 也可以表示为Hz (cycles/seconds), 二者换算关系为

（3）刚体模态

图为一未约束结构，有刚体模态

如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率为0。

（4）自然模态的倍数依然为自然模态

如：

代表相同的振动模态

（5）模态的标准化

3.4 模态能量

（1）应变-位移关系

（2）应力-应变关系

（3）静力-位移关系

（4）单元应变能

因此，对给定的模态位移

模态应变为

模态应力为

模态力为

模态应变能为

3.5 特征值解法

对于方程

MSC/NASTRAN提供三类解法

a) 跟踪法 （Tracking method）

b) 变换法 （Tromsformation method）

c) 兰索士法（Lamczos method）