串级PID为什么外环输出是内环的期望？
我们先来看一个最典型的反馈系统
是不是非常熟悉，好像控制器天生就有能力链接我们的物理世界，轻而易举的改变物理对象。
但是仔细看，说破天，这个算法也就是一堆数学公式，输入的是数字，输出的也是数字，它怎么就能改变物理量呢？
控制器输出如何连接物理世界？
正如我们所想，几个数字不应该，也不能够直接改变物理量，真正能改变物理量的是执行器。
所以更真实的控制图应该是这样的。
我们应该感谢现在的执行器做的足够好，他们通常都有自己的驱动器，我们只需要通过输出一些简单的电平信号，驱动器就会帮助我们控制执行器。
典型的执行器就是电机，电机的驱动器，例如电调，通常都是用PWM信号就可以控制。
我们现在用的算法，最终都是写在一个单片机里的，所以严格来说我们使用的是数字PID算法，算法本身的确只能输出一些数字，但是单片机对于产生电平信号，却是非常擅长，简单的设置一下寄存器，真的只需要一个数字就可以产生你想要的PWM信号了。
举个例子：有一个电机，他的手册上写着，400HZ频率的PWM信号下，100%占空比为1000转每分钟，0%占空比为0转每分钟。
这时候你根据你设计好的控制器框图，用你的期望转速，例如500，与实际转速，例如0，做差，误差500通过PID后可以得到一个控制器输出，例如90，然后把90给单片机的寄存器，它自动的就产生了一个占空比为90%的PWM信号。这个信号传递给驱动器的时候，电机飕~的一声转了起来，物理世界真的因为你发生了一些改变。
控制器如何利用误差
那在这个过程中PID的作用是什么呢？为什么不能直接用误差作为输出，产生PWM呢？
最简单的思路其实就是只用误差来产生PWM，也就是利用当前的误差(比例)，这个很容易理解，如果当前我们误差很大，我们自然就希望执行器能输出最大值尽快缩小这个误差。
但是误差还有其他信息我们可以用，例如过去的误差(积分)，如果如果过去我们的误差一直很大，是不是代表我们一直都处于离目标很远的地方，那我们在输出的时候也可以考虑这一点。
而且我们还能利用将来的误差(微分)，如果误差的改变越来越快，代表我们正在加速变化，很有可能导致我们，超过期望位置，所以我们也要把将来的误差考虑进去。
「所以PID把误差的全部信息的加权组合」，是综合考虑你能掌握所有跟误差有关想信息，这样高级误差才能更加快准稳的消除误差，但是，「误差的组合依然就是个误差」，单次看他就是个数字，连续起来看他是个跟随误差变化的曲线，没有实际的物理意义。
如果你能理解上面两点，我们再结合实际讲一讲。
通常你会发现，最后会把控制器输出限制成[-1,1]或者[0,1]，其实这只是个工程技巧，是为了方便映射成PWM的占空比。
在单片机中你需要输出某个固定频率的PWM，使他从占空比从0到100变化，但根据你的设置不同，要产生这个效果，你需要的寄存器配置也许需要从1000到2000。
如果你把PID的输出限制在[-1,1],后续通过简单的映射就可以变化到[1000,2000],这就意味着你的PID调节只需要选择合适的参数让PID的输出随着误差变化在[-1,1]之间变化即可。
相反如果你将控制输出直接对应到占空比，那你需要你的PID做处理，而且要调节参数，才能使PID输出随着误差变化在[1000,2000]之间变化。
所以你看见的处理其实都是工程技巧，是为了让你能更好的理解。
控制器的期望有物理意义吗？
PID是输出没有物理意义，那它的输入呢？
让我们找来一幅非常“合理”的控制框图。通常大家接受的逻辑是，我想控制加速度，所以我要反馈加速度，通过误差让执行器改变加速度。
好像这里的期望天生就该是加速度一样。
真的是这样吗？
那我们把这套框图重新换一下。
这里的期望还应该是加速度吗？
显然这里是期望代表的物理量应该是速度，这就有点奇怪了，整个控制结构没有任何变化，怎么期望说变就变了？
那是因为你把需要控制的物理对象改变了，所以期望值的物理量也变化了。
这就说明，「期望值是什么，与控制器没有关系」，而是与物理对象有关。更直接的原因是因为你使用了这个物理量做反馈而，期望值需要与反馈做差，所以期望值才有了物理意义。「期望值是什么取决于反馈值是什么。」
假设图1图2的期望都是数字3。
如果我不告诉你我的反馈是什么物理量，你能知道这个3代表什么物理意义吗？它没有任何意义，就是数字3而已。
一旦我告诉你图1，反馈的是加速度，这时候你才知道，3代表的是我的期望加速度，但是这还不够，单位还没确定，这时候我再告诉你我反馈的加速单位是cm/s/s，这时候期望的才具有了真正的物理意义，就是我的期望是3cm/s/s。
所以真正让期望有物理意义的原因是因为你反馈了一个物理量，而不是因为PID算法。
真正的逻辑是，
1.我的执行器能改变加速度这个物理量，
2.我把加速度作为反馈，用误差消除误差。
3.设定期望值，这个值的物理意义需要与反馈一致。
所以，你的期望值是什么其实完全取决于你的反馈值，如果不表明反馈值，那期望值就是一个数字，或者一条曲线而已。
为什么要用串级PID呢
看上去PID不是已经够完美了吗？只要我能给出反馈，我就能控制所以的物理量不是吗？
为什么还要双闭环PID呢？那为什么说外环输入是内环期望呢？为什么位置误差经过PID就变成速度期望了呢？
那我们就来设计一个位置控制器吧！
感觉好像没什么问题，但是跟之前有些许不一样，之前我们的「执行器能直接改变反馈值」，但是在这个控制器里，执行器依然只能改变升力，只不过，因为升力改变，会有加速度，从而导致速度变化，最终导致位置变化。
如果你按照图中的思路设计控制器，那就说明「你只对位置有期望」，这意味着你对升力，速度没有期望，也就意味着加速度，速度是什么都无所谓。
所以实际效果变成什么呢？「你会以一个你无所谓的加速度，和速度，到达你的期望位置。」
这时候奇怪的事情发生了，到达你的期望位置时有加速度和速度，那这个就不是「到达期望位置」了，这叫「经过期望位置」。你会发现你的对象在期望位置附近“反复横跳”，超过后，又退回去，退过了，又超过去。
这时候你才想起来，原来「你期望的是停在期望位置上」。「什么叫停在期望位置上？就是到达期望位置的同时加速度与速度都为0。」
这个问题是如何产生的，为什么之前没有这个问题。
之前在单级PID时我们举的例子中，期望被控制的物理量，都是可以直接被执行器改变的。
但是在这个例子中，「期望被控制的物理量，不能被执行器直接改变，但是可以被间接改变，并且你知道间接改变的过程。」
之前我们想控制位置，类似于控制机器人，给出命令，它直接走到对应的位置。
现在我们想控制位置，类似于控制车，你只能踩油门加速，或者刹车进行减速，你只能通过速度控制间接控制位置。
但是你肯定知道，车我们也是可以控制位置的，还记得驾校里的倒车入库吗？不就是让你精准的控制位置吗？
开车的时候是怎么控制位置的呢？你想停在指定位置的时候，你先以一定的速度前往指定位置，快到的时候，通过刹车不断减速，直到速度为0，停到期望的位置。
这个过程告诉了我们什么？我们只通过控制速度就可以间接控制位置，也就是说「我们可以通过控制某个物理量的变化快慢，从而间接控制这个物理量。」
所以我们只需要选择「合适的速度变化曲线」就可以停在我们想要的位置。那我们就可以把控制器设置成下面的结构。
什么是「合适的速度变化曲线」呢，
首先当到达期望位置的时候，速度应该为0。
其次当没有到达期望位置的时候，期望速度是可以减小位置误差的。
总结一下：「期望速度必须能减小位置误差，且位置误差为0时，期望速度为0。」
什么意思呢？如果前方为正方向，当期望位置在我们前方时，即target-current>0,那我们就希望能有个向前的正速度，去缩小这个误差，当误差为0时，我们希望速度为0。满足这样的过程的速度变化曲线，就是「合适的速度变化曲线」。
想想开车的时候，快到终点的时候会出现什么操作？
新手在没达位置的时候，希望有一个比较快的速度，快到了直接一脚刹车踩到底。
高手可以提前预判，匀速降低速度。
更高阶的可以变化的减速让整个速度变化如丝般顺滑。
就有了下面的曲线。
（第一个曲线是实际中是做不到的，因为速度减小需要过程，不能突变）
因为我们对期望速度的要求「期望速度必须能减小位置误差，且位置误差为0时，期望速度为0。「所以我们发现这些期望速度都是」与位置误差相关的且经过0点的曲线」。
位置误差与期望速度在这时候才建立起的关系，注意，强调一遍，是我们主动把位置误差与期望速度联系起来的，起因是我们希望控制速度达到控制位置的效果。
而这种控制能够被实现的本质是，「速度与位置存在我们已知的简单变化关系，即速度的积分是位置」，所以改变期望速度才能改变位置，才能减小误差。
所以合理的控制过程应该就可以设计成这样。
只要找个合适的函数，根据误差生成合适的期望速度曲线就可以了。
我们最常使用的是什么样的曲线呢？
是不是非常熟悉。
因为这两个曲线满足「合适的期望速度」的要求，同时也非常的简单。
只要是满足「合适的期望速度」的曲线都可以作为期望速度，显然如果在外环使用PID也是可以的，但是为什么实际中不这么用呢？因为添加积分(I)后，导致响应变慢，添加微分(D)容易引入噪声，只用P又简单又有效，何乐而不为呢？
到这里外环的输出终于理所应当的变成了内环的期望，但是这并不是因为这件事本就应该成立，而是通过你的设计，和真实存在的物理关系，才设计出来的合情合理的双闭环控制器。
我们再回忆一下这个控制器的设计过程
「1.执行器输出无法直接控制目标物理量。」
「2.发现控制器能控制物理量的变化量(微分)。」
「3.你想了个办法，可以通过控制物理量的微分，按照某种曲线变化，从而达到间接控制目标物理量。」
「4.这个曲线必须满足两点，存在目标物理量误差的时候，应该产生一个能减小这个误差的变化，且当没有误差的时候，变化量也应该为0。」
「5.选择最简单实用的曲线即可，所以外环选择KP。」
「6.这个控制能成功的本质是因为，间接控制能成功，间接控制能成功的原因是因为，执行器能改变的量，与目标物理量之间有简单的物理关系。」
所以为什么外环的输入是内环的期望呢？因为你在设计控制器的时候，内环的目的就是实现用执行器控制直接能改变的变化量，外环的目的就是找到合适的曲线，来引导目标的微分变化，从而达到间接控制的效果。
你现在能不能理解，「内环是外环的微分」？
如果你对这些还是意犹未尽，下次我们可以讲讲为什么要选择不同的外环曲线，大误差，大增益，小误差，小增益的KP曲线，与大误差，小增益，小误差，大增益，sqrt曲线谁更有优势。
ok，今天就讲这么多,我是如果没有更新就是在出差的zing，一个有趣的飞控算法工程师，我们下期见。
zinghd
一个有趣的飞控算法工程师
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