关于梁变形的公式推导

上海重型设备吊装公司总工前两天和我通话，他们在编制一个技术规程，涉及一个结构，需要求解析解，当时我在想，要求那个结构的受力难度也不大，有限元软件简单计算一下就可以了，但朋友说，为了增加理论的可信度，需要在技术规程里面增加理论推导，为此，我思索了下朋友那个结构的理论推导，我先把朋友的结构进行简化，然后得出的就是一个梁结构的受力的变形计算，基于此，可以在网上查到多如牛毛的关于梁挠度的计算公式，因为是解析解，所以需要推导一下，为此，我把近期梁挠度公式的推导的思路和大家一起探讨一下，不足之处请大家批评指正。

这里我用一个对称的简支梁的说明一下，简图如下：

假设梁的挠度的方程为y=f(x)，微单元的切线角度为y‘(y的一阶导数)，微单元的转角为切线角度的变化率，也就是等于y’’(y的二阶导数)，根据材料力学得到：

根据边界条件得到：

Y(0)=0;                           （2）

Y’(1/2L)=0;                        （3）

对（1）左右两侧进行两次积分可得y=F*x^3/12*E*I+a*x/(E*I)+b;

根据边界条件，可以求得b=0，a=-F*L^2/(16*E*I)；

故y=F*x^3/(12*E*I)-F*L^2*x/(16*E*I)

带入x=0.5L，y=-F*L^3/(48*E*I);

查网上资料，可知，和挠度计算公式一致。

当然，大家也可以推导一下，集中力不在跨中或者不是集中力，是分布荷载的情况下的公式推导。

这是最近的一点小的感悟，也许在某本书上能找到，但这是自己按力学的理解自行推导出来的，不喜勿喷。

如有雷同，纯属虚构。