矿柱强度估算---Greenwald公式

1 引言

煤矿的煤柱强度一直是大量研究的课题。一个普遍的结论是实验室中确定的矿柱强度随着试件宽度与高度(w/h)比值的增加而增加，随着高度和尺寸的增加而减少。基于立方体试件推导出来的形状和尺寸效应, 建立出许多经验矿柱强度公式, 如Gaddy 1956; Holland 1964; Obert and Duvall 1967; Salamon and Munro 1967; Bieniawski 1968, Wilson 1972和Barron 1984提出了矿柱强度的解析解.  这些经验公式在过去几十年里被矿山企业和和煤矿监管机构使用，取得了不同程度的成功。

不过这些经验公式都是在特定的数据下得出的, 超出试验数据范围可能就失效, 特别是w/h超出5的矿柱(Mark and Iannacchione 1992)，这些公式本质上都忽略了顶板和底板的约束以及随后的相互作用。经验公式和解析解不能解决这个问题, 数值模拟方法(例如FLAC, UDEC, RS2)可以有效地考虑顶板,底板和矿柱的相互作用, 我们将在以后详细讨论. Das(1986) 指出, 当w/h大于4~6时, 后破坏特征开始上升, 表示强度增加; 当w/h=13.5时, 即使矿柱破坏后也能保持很高的强度。如下图所示.

Anyway, 今天在看一位同学写的文献回顾时, 文中提到了Greenwald公式. Greenwald公式目前在实践中已经很少使用, 不过它最早揭示出矿柱强度的基本原理, 同时也是后来其它公式发展的基础, 因此这个笔记简要回顾一下Greenwald公式.   

煤矿矿柱强度(Coal Pillar Strength)综述

矿柱强度估算---Obert-Duvall公式(Pillar Strength Formula)

矿柱强度(Pillar Strength and Design)文献聚合

2 Greenwald公式

Greenwald公式最早来自于这篇论文: Greenwald, H.P., Howarth, H.C. and Hartmann,I.(1941) Experiments on strength of small pillars of coal in the Pittsburgh bed. Report of Investigations 3575, USBM, 6p. Greenwald在试验室和现场进行了一系列试验决定煤矿矿柱的强度. 试验室立方体试件的尺寸从1英寸到60英寸, 试验结果指出实验室内决定的强度大致是原位矿柱的7倍. 我们后来把这种现象称为尺寸效应. 本公众号在其他文章中讨论过岩体的尺寸效应, 如下所示.

Intact Strength: 原岩强度的微观尺寸效应

《边坡工程》课程总结

代表性元素体积REV 

矿柱强度估算---Obert-Duvall公式

地下采矿引起的地表沉降分析

使用RMR估算巷道支护压力

最后Greenwald给出了如下的强度公式, 公式中的单位是英制. 这个结论后来被Bieniwaski and Van Heerden(1975)证实. 

使用国际标准单位,并且单独考虑试件的强度, 于是这个公式演化成如下形式:

其中Сp是矿柱强度; k是试样立方体的强度; wp是矿柱宽度; hp是矿柱高度. Greenwald公式基于7个试样的结果得出的, 因而回归系数比较低. 尽管这个公式目前已经很少使用, 但它的意义是重大的.