CFD理论|能量方程形式(2)

导读：介绍可压缩流下的能量方程。

可压缩流的特点

可压缩流下，流速较高，内能 会转化为机械能或动能，且两者数量级相近，因此需要考虑这部分转化。

比如说当流体穿过激波，压强增大，温度升高，流动中的机械能/动能会转化为内容，因此需要在能量方程中增加机械能/动能项。

当然上一篇中提到的能量方程对固体区域计算是足够的。

机械能方程

首先需要考虑单位质量流动的动能：

表示单位质量流动的平均动能。这里的动能与湍流动能( )不是同一个变量. 继续推导流体动能的微分方程：

利用乘积法则，最后得到：

方程（3）给出了速度场变化率的微分方程，结合纳维尔-斯托克斯方程，就可以推导出动能的微分方程，由于篇幅限制，推导过程中涉及到很多数学问题，这里直接给出解。

给出Navier-Stokes方程：

方程两边同乘 ，得到：

其中 。方程的左边为非稳态项，动能随时间的变化率；对流项，速度场确定了动能；方程右边，有了应变能项和势能项，这是可压缩流额外的两项。

总能量方程

现在已经有了守恒形式的内能方程：

守恒形式的机械能/动能方程：

对于可压缩流，我们需要一个总能量（ ）方程，也就是内能+动能，因此我们把 定义为：

这就是流场中守恒的总能量，不是单指内能或机械能，因为它们之间可以相互转换,具体形式如方程（9）所示：

将方程（8）代入方程（9），得到：

方程左边是总能量的时间和空间变化率，右边是扩散和总能量的各种源项。

方程的变化形式

为了将总能量方程（方程(10)）转化为更常见的形式，需要对其进行处理。这里需要将总应力 分解为压应力和切应力：

（ ）

因此方程（10）变为：

这是在Ansys的操作手册中总能量方程的表现形式。

这里需要注意的是这里的推导的总能量方程适用于密度基求解器，而对于压力基求解器，求解的是上一篇提到的热力学能/内能方程。这是求解器的假设所限定，当使用密度基求解器时，就假定流动是可压缩流；采用压力基求解器时，则是假定流动为不可压流。

更多内容关注：公众号&知乎号：BB学长