【JY】有限单元分析的常见问题及单元选择

建源之光 - 减隔震 2021年7月20日浏览：2377 收藏：19

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再次整理了下笔记，在看本文前，可以先看下：【JY】有限元分析的单元类型分享一波~

我们常用的有限元方法有以下非常需要注意的要点（特别是实体单元的应用）：剪切锁死、体积锁死、沙漏模式、零能模式，对于单元选择又需要注意：完全积分、减缩积分、强化应变、杂交分析的概念。

简而言之，正确的实体单元的模拟是最贴近真实状态的，但是往往由于使用者自身水平受限，包括考虑各种复杂非线性等因素(如材料非线性、几何非线性、接触非线性等)，实体单元是比较难以驾驭的，模型在一定条件下若能简化成杆系单元（【JY】从一根悬臂梁说起）、板壳单元（【JY】板壳单元的分析详解）进行分析是一种非常有利简便、精准快捷的数值计算方法。

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剪切锁死（Shear locking）

概念：在理论上没有剪切变形的单元中发生了剪切变形，该剪切变形也常称伴生剪切。以结构弯曲变形为主的问题中，单元整体出现“刚度过大”的情况，结构形变明显小于预期。

根据梁的基本理论，对于纯弯变形，轴向应变在厚度方向呈线性变化，而剪应变为0。但如果在计算中采用了低阶完全积分的四节点或四边形单元，线性单元在没有中间节点的情况下无法模拟纯弯。

在每一个积分点，初始时竖直方向的虚线与水平方向的虚线夹角为90°，变形后却改变了，说明这些点上的剪应力不为零，这与纯弯曲时剪应力为零不一致。产生这种伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲，他的出现意味着应变能正在产生剪切变形，而不是所希望的弯曲变形，因此总的挠度变小，即单元过硬。剪力自锁仅影响受弯曲载荷完全积分的线性单元行为，而二次单元的边界可以弯曲，故它不存在剪力自锁的问题。

采用了四节点的线性单元，就只能以上下缘节点相对位移变化来体现“弯曲”但是，纯弯问题的特点是只存在沿高度方向的纤维长短变化，纯弯构件的每个截面与中线总是垂直的。当出现四个节点模拟纯弯的时候，无法体现“中心线的弯曲"，即在数学描述上形成了单元水平线与垂直线之间的夹角变化，即“产生了”名义上的剪应力。从而提高了单元的刚度，然而这部分刚度显然是不存在的，无形中使总的变形量减小，使得分析失真。

受纯弯曲的减缩积分线形单元的位移

总结发生的条件：1.一阶、全积分单元；2.受纯弯状态(或弯比占大的情况)；

产生的结果：使得弯曲变形偏小，即计算的弯曲刚度太刚，模拟失真。

剪切锁死的解决方法：

1、采用减缩积分；

2、细化网格；

3、强化应变单元模式，采用非协调单元；

4、假定剪切应变法；

5、采用高阶单元。

建议采用方法：采用减缩积分，适当细化网格~

注意：采用高阶单元即增加单元的形函数阶次，就可以在一定程度上消除剪切锁死现象，但由于单元节点增加，计算工作量就提高不少。虽然减缩积分可以在一定程度上消除剪切锁死现象，但有时候效果不佳，有时候还会出现沙漏现象。

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体积锁死（Volumetric locking）

概念：应该有单元的体积变化的时候体积却没发生变化，该原因是受到了伪围压应力（Spurious pressure stresses）。分析结果显示体积几乎不可压缩，体积应变表现为无穷小，体现为结构过硬，甚至导致非线性分析的不收敛。

材料力学中有弹性模量、剪切模量等等诸多“模量”，其中，有一个与体积有关的模量，即“体积模量"，表达式如下：

体积模量可描述均质各向同性固体的弹性，可表示为单位面积的力，表示不可压缩性。当泊松比v接近0.5时，上式中分母趋近于零，导致体积模量无穷大、体积应变无穷小。材料表现为不可压缩，在超弹性材料、塑性流动时出现这种不可压缩性的时候，会导致计算困难，产生单元伪应力。（注意：特别橡胶材料）

选择二阶单元对于弹塑性材料（塑性部分几乎属于不可压缩），二阶全积分四边形和六面体单元在塑性应变和弹性应变在一个数量级时会发生体积锁死，二次减缩积分单元发生大应变时体积锁死也伴随出现。但值得注意的是，一阶全积分单元当采用选择性减缩积分时在变形较小时可以避免出现体积锁死。

叠层橡胶支座模拟详见：【JY】橡胶支座精细化模拟与有限元分析注意要点

总结发生的条件：1、全积分单元；2、材性几乎不可压缩（泊松比约等于0.5）；

产生的结果：使得体积不变，即体积模量太大，刚度太大。

体积锁死解决方法：

1、将大应变区域网格细化；

2、采用杂交单元；

检查方法：输出积分点的围压应力，分析围压应力是否在相邻积分点存在突变，是否显棋格式分布，是的话就说明出现体积锁死。

注意：在Abaqus中建议采用Standard(隐式求解器)并使用杂交单元进行精细化分析橡胶支座，若采用Explicit(显式求解器)，由于Explicit中，未提供杂交单元，对于精细化橡胶支座或者其他大泊松比的材料的大变形模拟，可以细化网格进行分析，或者利用隐式-显式联合求解。

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沙漏模式（Hourglassing mode）

概念：采用一阶减缩积分时会出现零能模式，即单元只有一个积分点，在受弯时该积分点没有任何的应变能，此时此单元没有任何刚度，就无法抵抗变形。

如下图所示受纯弯曲作用的一小块材料的变形，由于每个单元只有一个积分点，单元中虚线的长度和夹角均没有改变，因而在单元单个积分点上的应力分量都为零，单元扭曲没有产生应变能，所以单元在弯曲状态下没有刚度。简单地说就是单元只有一个积分点，周边的节点可以随意变形。

检查方法一：查看单元变形过程：如果有单元变形明显异常，或有单元变成交替出现的梯形形状，一般是出现沙漏模式。

检查方法二：查看沙漏能在总内能中所占比例：当沙漏能约占总内能的1%时，表明沙漏模式对计算结果的影响不大；当其超过总内能的10%时，分析就是无效的，必须采取措施加以解决。

发生的对象：一阶、减缩积分单元，变形方向单元数量太少；

产生的结果：单元太柔，模拟失真。

沙漏模式的解决方法：

1、对一阶减缩单元，合理细化网格；

2、荷载避免使用点荷载；

3、在大应变区或大应变梯度区使用一阶单元，而不是使用二阶单元。

4、强化应变单元模式，采用非协调单元(大变形不适用)；

5、人工沙漏模式，通用有限元软件调整并释放沙漏刚度。

有限元计算中单元怎么选择？

（基于Abaqus进行讨论）

在讨论单元选择前，我们先讨论下什么是完全积分、减缩积分、强化应变、杂交分析？

完全积分

完全积分是指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。对六面体和四边形单元而言，规则形状是指单元的边相交成直角，而任何的节点位于边的中点。线性单元如要完全积分，则在每一方向需要两个积分点。

如下图所示，三维单元C3D8在单元中排列了2×2×2个积分点，而二次单元如要完全积分则在每一方向需要3个积分点。

减缩积分

减缩积分比完全积分在每个方向少用一个积分点。减缩积分的线性单元只在单元中心有一个积分点。

减缩积分单元比完全积分单元在每个方向少用一个积分点。减缩积分的线性单元只在单元中心有一个积分点。只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分；而所有的楔形体、四面体和三角形实体单元只能采用完全积分，即使它们与减缩积分的六面体或四边形单元用在同一个网格中。

正确使用减缩积分可以使得计算量减小的同时得到较为满意的数值解。实际上，在Abaqus中这些一阶单元采用了更精确的均匀应变公式，对此单元计算了其应变分量的平均值。

强化应变

强化应变单元模式中，通常采用非协调单元进行分析，主要是为了克服完全积分中一阶单元的剪力锁闭问题（见前文）。

剪力锁闭是由于单元的位移场不能模拟与弯曲相关的运动学而引起的，那么可以考虑把增强单元变形梯度的附加自由度引入到一阶单元中去。因此非协调单元的主要思路在于采取某种方式让应变沿一个方向呈线性变化，通过增加一些虚拟的附加自由度，让单元内部应变模式为线性变化。由于这种增加变形梯度变化（如下图所示）完全是在单元内部，与单元节点无关，因此，即不增加求解结构的整体自由度数，也可以保证在边界上位移仍然是连续的。因此在弯曲问题中，非协调模式单元的结果与二次单元计算结果相近，但计算成本却大幅度降低。

不过，非协调单元也有它本身的限制和弱点，比如当单元形状比较畸形时计算结果会非常差甚至不收敛，且单元对扭转非常敏感。

杂交分析

对不可压缩材料（泊松比=0.5）或非常接近于不可压缩的材料（泊松比>0.495）问题需采用杂交单元。

橡胶就是具有不可压缩性质的材料的例子。（再推：【JY】橡胶支座精细化模拟与有限元分析注意要点）

如果材料不可压缩，其体积在荷载作用下并不改变。因此压应力不能由节点位移计算，对于具有不可压缩材料性质的单元，一个纯位移数学公式是不合适的。杂交单元包含一个可直接确定单元压应力的附加自由度。其节点位移只用来计算偏（剪）应变和偏应力。不能用常规单元来模拟不可压缩材料的响应（除了平面应力情况），这是因为在单元中的压应力是不确定的。

实体单元的选择

对某一特定模型，如果要想以合理的计算量，并达到精确的结果，则正确地选择单元是非常关键的。根据自身的实际问题，可考虑下面的建议：

1、若不需要模拟非常大的应变或进行复杂的需改变接触条件的问题，则应采用二次减缩积分单元（CAX8R，CPE8R，CPS8R，C3D20R等）。

2、如果存在应力集中，则应在局部采用二次完全积分单元（CAX8，CPE8，CPS8，C3D20等）。它们可用最计算量用提供应力梯度最好的解答。

3、涉及有非常大的网格扭曲问题（大应变分析），建议采用细网格剖分的线性减缩积分单元（CAX4R，CPE4R，CPS4R，C3D8R等）。

4、对接触问题采用线性减缩积分单元或细分的非协调单元（CAX41，CPE41，CPS4II，C3D8I等）。但尽可能地减少网格形状的扭歪，形状扭歪的粗网格线性单元会导致非常差的结果。

5、对于泊松比约等于0.5的材料，应采用杂交单元进行分析（名字前标有字母“H”）。

6、对三维问题应尽可能采用规整的六面体单元。因为它们以最小计算量给出最好的结果。

特别注意：沙漏模式主要出现在 CPS4R、CAX4R、C3D8R 等线性减缩积分单元的应力/位移场分析中。线性单元本身的积分点数目就比较少，减缩积分单元在每个方向上的积分点数目又减少一个，因此可能出现没有刚度的零能模式，当网格较粗时，这种零能模式会通过网格扩展出去，使计算结果变得无意义，或者导致严重的网格畸变。

最后的最后，祝大家计算收敛~