【JY】振型求解之子空间迭代

简介

    子空间迭代法是把迭代法和瑞利-里兹法相结合并交替使用的一种方法，既利用瑞利-里兹法来缩减自由度，又在计算中利用迭代法使振型逐步趋近其精度。子空间迭代法中首先选定n个（n<N，N为体系的总自由度数）试向量，对这n个向量同时进行迭代，通常结构的自由度成千上万，而所需求解振型不过数十个，子空间迭代方法不需要全局求解，而是点到即止。子空间迭代方法以迭代法求得的向量作瑞利-里兹法向量，在用瑞利-里兹法求n个近似特征对，这归结为解退化了的子空间里的特征对问题。这种方法能同时求出模较大的一些特征值和相应的特征向量，也能在迭代过程中应用Rayleigh-Ritz原理进行加速。因此，同时迭代法比乘幂法更便于进行自动计算，而且加快了收敛速度，它是求解大型、稀疏矩阵特征值问题的最有效的方法之一。

1. 利用了瑞利-里兹法缩减了自由度。

2. 利用了迭代快速逼近精确解。（通常迭代2-3次，可以得到满意的解）

    在n维空间的n个特征向量中，选取前面s（s<n）个特征向量，这s个特征向量定义的空间称为原n维空间的一个子空间。对前s阶振型选s个假设的规格化向量，即

    经过了这一次的调整，相当于在振型原空间中，在变换一个“小振型子空间”，巧妙的利用了振型求解缩减自由度的能力。

从结构动力学中可知道，圆频率的平方计算公式如下：

    根据上述公式和瑞利商的性质（等比例缩放并不会影响瑞利商的值，即圆频率不影响）可得，原系统的圆频率等效为下式：

   其中，广义刚度、广义质量是s个自由度的矩阵：

   再根据瑞利商的性质，求解系统的圆频率：

    这样，问题归结为求上述方程这个新的s×s阶矩阵的特征值问题，而不是原来n×n阶矩阵的特征值问题。由于s<<n，因此求上述方程比较容易。由此可见，瑞利-里兹法起到了缩减自由度的作用。解得s个特征值就是原体系前s个自振频率平方的近似值。将求出的每一个自振频率，代回可求得对应的特征向量，从而得到体系的前s个近似振型：

Step1：生成一个迭代式，得到一个n(自由度)行s(需知振型数)列的矩阵。

（注：首步初始形状矩阵可任意生成一个非零矩阵~）

Step2：将生成的振型矩阵的各个位移模都进行标准化(即将各向量中位移的最大模化为1，做一个比例变换。)

Step3：求出广义刚度矩阵和广义质量矩阵。(此时已经进行了缩减自由度)

Step4：求出缩减自由度后结构方程的振型和圆频率，此时的求得的圆频率是首次迭代的系统圆频率估计值。

Step5：将Step4中所求的“子空间振型”和Step1中得到的形状矩阵进行相乘，即可以得到本次迭代中，系统振型的估计值。

Step6：将上述得到的系统振型估计值再带入到第一步的初始形状矩阵中再次进行迭代，通常迭代2-3次可以得到非常满意的解。

   本案例采用的是【JY】主成分分析与振型分解 中的计算案例，计算串模型为8层楼，每层质量m=10 t，每层楼刚度k=10^8N/m，依次计算前6阶振型和周期。

特征值法计算：

子空间迭代法：

SAP2000瑞利法计算：

Etabs特征值法计算：

    上述对比结果几乎一致，说明计算方法得到较好的论证，子空间迭代法用在串模型计算振型周期上显得大材小用，但在三维结构模型计算时便可大展身手，详情可以看下在软件讨论系列中的【JY|STR】求解器之三维结构振型分析 。

概念为先，机理为本，期待下篇！

建源之光——工程侠