CFD理论|温度壁面函数（1）

导读：介绍温度壁面函数，为什么需要温度壁面函数，如果去构建？

在一个有墙壁的流动中，壁面处流动速度为零，温度为壁温，可以得到速度和温度分布，如下图所示。

当靠近壁面时，速度及温度的梯度越来越大，这些梯度的大小最终决定流体切应力和传热，因此在有限体积法中，为了保证求解精度，靠近壁面的网格需要越来越小。这里要指出一点的是：与自由流动相比，无滑移的壁面边界条件（壁面速度为0）可能会使壁面温度更高或者更低。那么温度壁面函数的作用是什么？在有限体积法二阶精度算法中，靠近壁面网格熟练过的变化是分段线性的（Piecewise-linear），意味着在靠近壁面时，需要更薄更多的网格来捕捉越来越大的温度梯度，并且网格的长宽比也会因此变大，不利于求解的稳定性。为了改善这种情况，需要构建靠近壁面处温度的非线性变化（Non-linear），就可以用一个大的网格覆盖壁面，同时也能够保证计算精度。这就是温度壁面函数的作用。这与速度壁面函数的目的是完全一致的，利用非线性变化精简壁面处的网格。下一个问题是非线性变化是什么？如何去构建？

首先通过直接数值模拟（DNS）得到靠近壁面温度分布的真实曲线，如左图所示，与速度分布曲线相比，其轮廓基本相似。

这意味着可以通过类似的方法来计算温度。那么如何用函数表示这些数据呢？如下图所示，黑色是DNS得到的数据，或者说是函数的实际样子。通过拟合函数的方式，在粘性子层中拟合一个单独的函数（蓝色），在高温对数律区域拟合一个单独的函数（绿色）。注意，x轴是对数增长。在 为5到30时，，会存在缓冲区，数据吻合性较差。那么如何用函数来表示？

方程（1）表示粘性亚层的函数（蓝色），方程（2）表示对数区域的函数（绿色）

其中 是分子普朗特数， 是湍流普朗特数， 为额外的函数； 分别表示无量纲化后的壁面垂直距离与温度：