教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍

一般固体变形控制方程主要由三个方程构成:应力平衡方程、几何变形方程、本构方程,一般以Navier的形式出现,此公式推导涉及到弹性力学的基本理论,在此不再推导。式(1)中εvuFx分别为体应变、位移、x方向体载荷。

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图1

化成张量形式(一种表述方法)

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图2

出现流固耦合或者温度、煤基质变形引起应力耦合,则需要添加额外项。此过程以太沙基提出的有效应力原理为基础,如式(3)。式中α为有效应力系数即Biot系数,p为孔隙压力。太沙基的有效应力方程是针对单孔隙提出的,而对于像煤层这些双重孔隙/裂隙介质的多孔介质而言,需要作出一些修正,如式(4)。式(4)中考虑了基质中孔压与裂隙中孔压对有效应力的影响。对于流固耦合问题,便是讨论有效应力下的变形控制方程,这样便考虑到孔压对固体变形的影响。将式(3)带入到式(2)得到,得到考虑流固耦合的张量形式,如式(5)

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图3

式(5)考虑了孔压对有效应力影响,还可以考虑其他应力对有效应力影响如温度引起的热应力、煤体基质变形引起的应力等。对于多孔介质中流体的流动方程,一般采用达西流动,非饱和流动的理查兹方程,其中达西流动较为简单,一般适用于低速线性流动,如式(6)。固体中的渗透率一般与应力或者应变有关系,此时固体变形将会通过影响孔隙率和渗透率,进而影响流体的流动,流体的流动又导致孔压发生变化,影响固体的有效应力,达到流体和固体之间的双向耦合。

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图4

COMSOL中如何实现流固耦合?按照前文推导的公式,选用“固体力学”模块与“达西定律”模块。固体力学模块中线弹性材料中的控制方程便是式(2),还需要添加一项代表孔压的影响。从式(5)分析可以看到,把孔压项当做体载荷,输入到COMSOL中。Fi为重力引起的体载荷,在需要考虑重力项时,可以把重力项加入到体载荷中,不需要考虑时,即可忽略Fi此项。图1为体积力设置项,选择体载荷。图2是体载荷设置,选择“单位体积的力”,在x,y栏分别输入alpha1*dl.px1alpha1*dl.px2dl.px1dl.px2表示压力在x、y方向的梯度,即压力p对x或y求偏导。设置好体载荷后,然后设置边界载荷和边界条件,这样固体变形控制方程就在COMSOL设置好了。

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图5

图1 COMSOL中体载荷与重力栏

教程(二)COMSOL中实现流固耦合理论介绍的图6

图2 体载荷设置

对于达西定律,此物理场设置较为简单。按照流体和基本属性的栏顺序,依次输入。边界设置边界压力,同时设置初始压力。以上设置完成后,选择瞬态求解,把固体力学与达西定律均选上,设置求解时间即可求解。流固耦合问题的难点在于对控制方程的理解以及在COMSOL中的输入,对于其他耦合问题,可以参考流固耦合的设置。

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