张量变分学的基本概念及其定义 附变分学讲义张恭庆下载

摘要

张量分析学存在对称性破缺现象：既存在概念上的对称性破缺——有张量微分，但没有张量变分；又存在理论上的对称性破缺——有张量微分学，但没有张量变分学。然而，近年来的研究进展表明，破缺的对称性是可以弥补的。本文将综述弥补过程：回顾虚物质导数概念的拓展历史，再现张量局部变分概念的抽象过程，展示张量变分学的构建历程，揭示张量变分学与张量微分学之间的对称性。

本文标题涉及了三个关键词：虚物质导数、局部变分、张量变分学，其中，虚物质导数和局部变分是似曾相识的词汇：虚物质导数似乎只是在经典物质导数前面加了一个“虚” 字；局部变分似乎只是在经典变分前面加了一个限定词“局部”。

读者也许会有疑问：“为何多此一举？”“这不是玩弄词藻吗？” 作者的辩解如下。引入虚物质导数和局部变分概念，是为了实现三个意图：一是弥补张量分析学概念体系中破缺的对称性；二是为张量变分学奠定基础，三是为张量的协变变分学开辟道路。

限于篇幅，本文主要聚焦于前两个意图，即概念体系的对称性和张量变分学。而张量协变变分学，则是后续文章综述的重点。本文包括如下内容：

(1) 简要回顾经典变分思想，评述其概念上的局限性；

(2) 拓展经典物质导数，引入虚物质导数概念；

(3) 依托虚物质导数，类比张量微分概念，定义张量局部变分概念，塑造张量变分与张量微分之间的对称性；

(4) 类比张量微分学，展示张量变分学，揭示张量变分学与张量微分学之间的对称性。

大学时代，学习数学分析。课堂上，老师提出要求：“微分与积分的关系是什么？请用一句话说清楚。” 作者小心翼翼地回答：“逆运算。” 老师挑起大拇指：“高，实在是高！用一句话说清楚已经相当不易，你竟然用一个词就说清楚了。” 高兴之余，老师进一步提高标准：“请用一个字说清楚！” 受到老师的称赞，信心大增，脱口回答：“逆！”当年老师的苛刻要求，产生了持久的影响。从此，作者养成了思维习惯：对重要的概念，一定要理解到这样的程度—— 用一句话说清楚其内涵和外延。

历史地看，变分似乎是个整体性概念。

整体和局部及其相互关系，是哲学家关注的问题，也是自然科学家感兴趣的问题。

早年学习弹性力学，作者深受如下陈述的影响：弹性力学的基本问题有两种提法，一是微分提法，二是变分提法。后来，作者自己成了教师和学者，对两种提法有了更深刻的理解：微分提法体现了牛顿和莱布尼兹的局部化数理分析思想，而变分提法则体现了欧拉和拉格朗日的整体化数理分析思想。

由此，作者树立起了牢固的观念：微分是局部性概念，变分是整体性概念；

微分被定义在一个点的邻域内，变分被定义在物质构型空间上；微分提法对应局部化数理分析之路，变分提法对应整体化数理分析之路。

从力学的角度看，上述观念似乎经得起时间考验。场函数的微分，涉及空间域上“点的邻域” 内场函数的增量。“点的邻域” 当然是局部性概念。弹性力学中的运动微分方程，建立在微单元体上。微单元体是“点的邻域” 的几何化形态，自然是局部性概念。

泛函的变分，是定义在物质构型空间上的泛函的增量。弹性力学有最小势能原理和最小余能原理。两个原理分别涉及势能泛函的变分和余能泛函的变分。势能泛函和余能泛函都表现为物质构型空间上的积分。物质构型空间是整体性的概念，泛函自然也是整体性概念。

分析力学有最小作用量原理。克莱恩在他的名著《古今数学思想》中指出：“变分学的早期工作几乎不能和微积分区分开来。但是，随着变分法的深化，牛顿之后的伟大先驱们很快意识到：一个全新的、具有自己的特征问题和方法论的数学分支已经产生了。”“这个新学科，对于数学和科学来说，其重要性几乎可以和微分方程相比，它为整个数学物理提供了一个最重要的原理。” 这个“最重要的原理”，即最小作用量原理。

作用量一般表现为时间段上的积分。当说“作用量的变分” 时，研究的是定义在时间段上的作用量的增量。时间段是整体性的概念，作用量当然也是整体性的概念。

很显然，先驱们思考变分学的角度，着眼于整体。其中的核心概念， 是泛函的变分或作用量的变分。

然而，这产生了误导，使得作者产生了如下误解：由于变分的作用对象都是整体性概念，故变分就是个整体性概念。教学过程中，作者有意无意地将这样的观念传递给了学生。

近年来，随着研究的深入，作者意识到，上述观念限定了教师和学生的想象力。实际上，如果研究对象不是泛函或作用量，而是张量场函数，那么，着眼点就不应该是整体，而应该是局部。

2002 年，作者研究生物膜力学时，强烈地意识到，需要清晰地引入一个概念——曲率张量的变分。生物膜是软物质，可以将其抽象成柔性曲面。不难想象，柔性曲面几何形状的任何涨落，都会诱导曲率张量的扰动。那么，怎样才能最有效地度量曲率张量的扰动量？

当时，作者借鉴弹性力学，用虚位移概念刻画柔性曲面的涨落。于是，很自然地，就把曲率张量的扰动量视为“曲率张量的变分”。

如何快速计算曲率张量的变分？作者意识到，不同于曲率张量的微分，“曲率张量的变分” 没有现成的计算模式，故当时只能凭物理直觉“拼凑” 出其计算式。

数学力学中的概念，一般都有两个表达式，一个是定义式，另一个是计算式。其中，定义式在先，计算式在后，计算式源自定义式。“曲率张量的变分”作为一个基本概念，既没有计算式，也没有定义式。因为没有定义式，当然也就无法“一句话说清楚” 其内涵和外延。

“曲率张量的变分”，无定义，难计算。然而，“曲率张量的微分”，可定义，可计算。作者发现，类似的概念上的对称性破缺，不是孤立的现象，竟然普遍存在于张量分析中：有一般意义上的“张量微分” 概念，但没有一般意义上的“张量变分” 概念。

作者还发现，概念上的对称性破缺带来的直接后果，是理论上的对称性破缺：张量微分学的大厦巍然挺立，但张量变分学的原野却一片荒漠。这并不奇怪：基本概念是理论的基石。张量微分学的大厦奠定在张量微分概念的基础之上。相反地，缺少了基础性的张量变分概念，张量变分学的大厦就无从谈起。

追根溯源，可以发现，对称性破缺的根本原因，源自局部性概念与整体性概念之间的错配：张量场函数可以是局部性概念，微分是局部性概念。这样，“张量场函数/微分” 就是两个局部性概念的组合，浑然天成。然而，经典的变分“被认为” 是整体性概念，“张量场函数/变分”，是局部性概念与整体性概念的叠加，难以匹配。

作者想起智者的忠告：纷繁之处，可尝试分类；混淆之处，可尝试定义。显然，要纠正概念组合的错配，最便捷的方法是塑造出一个局部性概念—— 张量场函数的“局部变分”。这样，就相当于对笼统的变分概念进行了更精细的分类—— 整体性变分和局部性变分。当然，局部变分概念难以借助经验提炼出来，只能借助理性塑造出来。

如何塑造张量场函数的局部变分概念？作者的作法是“先为局部变分概念寻找一个逻辑基础”。2016年，找到了突破口：作者从“虚” 字上获得了灵感。

力学史上，从“实” 到“虚” 的观念进化，对应着重要的思想飞跃。分析力学和弹性力学，都涉及一个十分基本的概念—— 虚位移。弹性力学中虚位移的定义很简洁：就是运动许可位移。满足运动许可的虚位移有无穷多，构成无穷集合。而真实位移只是虚位移的特例，只是无穷集合中的特殊元素。

分析力学中，“虚” 字照样引人注目。分析力学的理论体系，可以被奠定在不同的基本原理基础之上：拉格朗日方程，被奠定在达朗贝尔原理的基础之上；吉布斯阿佩尔方程和凯恩方程，被奠定在高斯原理的基础之上。从达朗贝尔原理到拉格朗日方程，虚位移概念发挥了重要作用。同样，从高斯原理到吉布斯阿佩尔方程和凯恩方程，虚加速度概念不可或缺。

在速度和加速度之间，还有一个运动学量——虚速度。虚速度，就是运动许可速度。历史上，虚速度概念并没有逃过先驱们锐利的眼睛。分析力学中，除了达朗贝尔原理和高斯原理，还有约旦原理。虚速度是约旦原理中决定性的概念。

注意到，位移，速度，加速度，不论“虚实”，都是定义在物质点上的概念。论及“物质点”，连续介质力学的一个概念进入了作者的视线—— 物质导数。

需要说明的是，几何论中，确有“对参变量的导数” 概念。如果“参变量” 被取为时间变量，且“对参变量的导数” 被定义在运动的物质点上，即可得到物质导数。

在作者的印象里，物质导数是“实” 的概念，用以刻画物体“真实” 的运动。后来，作者意识到，这只是先入为主的自我设限。实际上，没有任何理由认为，也没有任何权力规定，物质导数必须是“实”的。正如虚位移、虚速度和虚加速度，完全可以自由地引入“虚” 物质导数概念。正如虚位移是运动许可位移，虚物质导数即为运动许可物质导数。

虚物质导数，可以视为实物质导数的推广。反过来，实物质导数，可以视为虚物质导数的特例。

从虚物质导数概念出发，就可以定义局部变分概念。也就是说，虚物质导数，可以被选定为局部变分概念的逻辑基础。

一旦涉及到物质导数，就得关注物质占据的空间及其运动的描述方式。

为了简化形式，采用平坦空间。至于运动的描述方式，最基本的有欧拉描述和拉格朗日描述。本文采用拉格朗日描述，是为了简化理论的解析结构。简化到极致，读者便可轻松地理解本质和思想。

从式(16) 和式(17) 中可获得启示：如果看到的是实速度场，那么，式(16) 就给出了基矢量的实物质导数，式(17) 就给出了基矢量的“实” 时间微分。如果看到的是虚速度场，那么，式(16) 就给出了基矢量的虚物质导数，式(17) 就给出了基矢量的“虚”时间微分(或虚物质微分)，亦即局部变分。总之，只要速度场有虚实之分，基矢量的物质导数就有虚实之分，基矢量的时间微分就有虚实之分。而虚的时间微分，就是局部变分。

式(17) 与式(15) 之间的对称性，清晰可见。

限于论文的篇幅，这里不再继续展示张量变分学与张量微分学的对称性。如果读者有兴趣，可以自己尝试一下：比照张量微分学的大厦，一定可以构筑出张量变分学的大厦，且两座大厦遥相呼应，构成优雅对称的建筑群。

答案是肯定的。但要塑造出新的对称建筑群，必须先引入一块厚重的基石—— 协变性思想。理由如下。

标题中，出现了张量一词。实际上，即使没有张量这个词，本文照样言之成理。之所以画蛇添足地加上这个词，是为后续建筑群的对称化做铺垫。

数学力学的历史上，张量概念的诞生是件大事。不同于经典力学概念，张量概念中蕴涵了一个既漂亮又深刻的思想—— 协变性思想。

1935 年，法国诞生了著名的布尔巴基学派。该学派提出了重要的思想观念—— 数学结构。在诸种类型的数学结构中，最基本的是代数结构。张量就是普遍存在于物理学和力学中的代数结构。

作为代数结构，张量有内部子结构，例如，分量和基矢量。子结构满足特定的协调约束性质，即“协变性”，具体表现为两大基本变换：一是指标升降变换，二是坐标变换。作者将二者合称为里奇变换[3-4]。

确切地说，协变性就是张量在里奇变换下的不变性。正是协变性，保证了张量的坐标无关性。从这个意义上讲，在物理学和力学中，协变性近乎于客观性。因此说，协变性思想，不仅漂亮，而且深刻。

从张量代数学到张量微分学的演进，是数学物理和数学力学史上的大事。但这件大事总被一种不大圆满的氛围所笼罩—— 张量微分的协变性退化了。丧失了协变性的张量微分，对物理学和力学不吝一场灾难。

危难时刻，意大利的里奇学派尽显英雄本色：他们巧妙地引入了漂亮的新概念—— 张量的协变微分，从而一举将不协变的微分学，“美化” 成了协变的微分学。

然而，随着协变微分概念的诞生，概念上新的对称性破缺出现了。随着协变微分学的出世，理论上新的对称性破缺出现了。

本文刻画了这样的历史轨迹：先驱们定义了张量微分，造成了概念上的对称性破缺。而随着张量变分的定义，概念上的对称性破缺得以弥补。先驱们发展了张量微分学，造成了理论上的对称性破缺。而随着张量变分学的建立，理论上的对称性破缺得以修复。

现在，新的对称性破缺引出了新的问题：还能重复上述对称化历史的轨迹吗？答案是肯定的。对称的建筑群将被持续延拓，规模更大、更为壮丽的对称建筑群将拔地而起。如果读者想一睹其真容，那就请阅读后续文章吧。

读者一定会问：“为什么对称观念如此令人着迷？” 德国数学家诺特有著名的命题：任何对称性，都对应着某种形式的守恒律。物理学和力学的历史已经确证了命题的正确性：物理学和力学的每一条规律，都受到某种对称性的支配；任何新对称性的发现，都意味着新规律的诞生；任何对称性破缺的出现，都意味着新理论的曙光。诺特的命题极大地消减了探索的盲目性—— 只要捕捉到对称性，就可以顺藤摸瓜地找到守恒律。本来，追寻守恒律，是物理学和力学探索者永恒的使命。诺特命题之后，追寻对称性，成为物理学和力学探索者达成使命的捷径。

这也正是作者在本文中的动机之所在：苦心孤诣地塑造经典微分与局部变分之间的对称性。

后来，作者否定了“多余” 的判断。作者并不是想通了，而是类比之余，坚定了信念：已经有实位移，但从没有认为，虚位移概念是多余的。已经有实速度，但从没有认为，虚速度概念是多余的。已经有实加速度，但从没有认为，虚加速度概念是多余的。

换个角度看：如果说，张量的局部变分是个不可或缺的概念，那么虚物质导数，就是个必不可少的概念。虚物质导数和局部变分概念的威力，会在后续的文章中，充分地展现出来。

本文只涉及了拉格朗日描述。欧拉描述，照样可以揭示出对称的张量微分学和张量变分学。换言之，张量微分学与张量变分学之间的对称性，是一种客观实在，与运动的描述方式无关。不论采用何种运动描述方式，对称性都存在。但限于篇幅，本文不再涉及欧拉描述。

在传统观念中，张量分析学主要是指张量微分学。现在，可以更新观念：张量分析学包括了两个对称的理论体系：一个是张量微分学，另一个是张量变分学。

本文讲述了一个对称性故事，后续文章将讲述对称性故事的续集。

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