用Wolfram语言破解球面像差光学问题

破解一个2000年之久的古老谜团

破解一个2000年之久的光学谜团并非易事。然而，蒙特雷科技大学（译注：学校简称ITESM或TEC，是拉丁美洲规模最大的私立大学之一，也是墨西哥最著名的私立大学）博士生Rafael G. González-Acuña却瞄准了这样一个问题：解决镜片中的球面像差问题。考虑到不同方向的折射，光线如何聚焦在一个点上？这个问题在两千年前希腊数学家戴克里克斯（Diocles）的作品“燃烧的镜子”（On Burning Mirrors）中就已经产生。而克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在1690年曾坦言，即使是艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德·莱布尼兹 （Gottfried Leibniz）也无法理清头绪。

但今天，González-Acuña和他的同事决定使用Wolfram语言及其计算工具来面对这个古老的问题。结果呢？一个突破性的文章最近横空出世，通过精度为99.999999999％的模拟光束，解释了镜头图像的中心为什么（如何）比在边缘处更清晰。

很巧的是，González-Acuña参加了Wolfram暑期学校，我们有幸采访到他并详细了解他的工作。

Q: 您是如何想到用Wolfram语言解决光学问题的？

A: 我对光学研究的兴趣在我攻读物理学士学位时就开始了，我对成像问题很感兴趣。

当我正在为手动解决代数问题而困扰时，我的同事Héctor A. Chaparro-Romo告诉我，Mathematica非常擅长代数操作和计算。

幸运的是，蒙特雷科技大学有Mathematica的站点许可证，所以我很快就开始使用并且喜欢上了Mathematica。它显示结果的方式，运算内联的方式，以及默认情况下进行代数计算的方式都很令我喜欢。

Q: 你试图解决的问题是什么？

A: 我想要解决的问题是球面无像差镜头的设计。换句话说，从一个物点发出的所有光束穿过镜头会聚在一个像点中。这个古老的问题在两千年内没有解析解，主要是因为其冗长的代数表达式，我的意思是，一个一般方程本身就超过11页！

这个问题有许多数值解，但数值解和解析解之间的差异是无法估量的– 解析解保留了问题的物理特性。我不仅找到了问题的通解，而且还发现解是唯一的，Mathematica是一个很好的工具。

我的研究结果相继以“General Formula for Bi-aspheric Singlet Lens Design Free of Spherical Aberration” （https://doi.org/10.1364/AO.57.009341） 和“General Formula to Design a Freeform Singlet Free of SphericalAberration and Astigmatism”（https://doi.org/10.1364/AO.58.001010）为题，发表在权威杂志《应用光学》中。

上图为透镜中球面像差问题的方程

Q: 你以前和现在都是如何开发解决方案的？

A: 我花了好几个月时间研究这个问题。这是一种痴迷。我一直与我的共同作者Chaparro-Romo交流 - 我们是一个团队，分享代码、想法和可能的解决方案；为了解决自由形式镜头的问题，我们有过很多次非常棒的讨论。

我读过几篇与牛顿有关的对该问题的评论。事实上，克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在他的著作《光之论》（Treatise on Light）中提到牛顿、莱布尼兹和笛卡尔都未能成功给出解决方案。

而实际上，惠更斯在他的《光之论》第六章得到了一个近似的解决方案：

Christiaan Huygens的1690年著作《光之论》摘录，以及Rafael的Mathematica笔记本输出（最右）

但是经过这么多年，我们现在已经得到了300多年前由惠更斯、笛卡尔、莱布尼兹和牛顿以及2000多年前的戴克里斯所寻求的方程式。查看我们的Wolfram笔记本关于构建无球差镜头的简介，了解Rafael G. González-Acuña和 Héctor A. Chaparro-Romo的解决方案:

https://develop.open.wolframcloud.com/objects/exploration/SphericalAberrationFreeLens.nb