基于Maple的超静定连续梁内力求解器的实现

1． 研究背景

连续梁一般为多次超静定结构。常用的超静定结构内力求解方法有：力法、位移法、弯矩分配法、矩阵位移法，以及有限元法等等，前三者适用于超静定次数较少情况下的手算，后两者虽可通过电算解决任意次数的超静定结构，但又存在着建模复杂的问题。为此，本课题拟研发一种新型求解器，不仅可以计算出任意高次连续梁的内力，同时还避免了复杂建模，具备参数输入简便的特点。

2． 求解器原理

求解器的理论基础为卡式定理，以图1中的一次超静定结构为例，推导过程如下所示。

首先，取消B支座，并用未知力X1代替，形成图2所示的力法基本单元。接着，以A点为坐标原点，AB轴为x轴，建立坐标系，并将AB上任意一点x的弯矩M(x)写成如下形式：

       

此时，梁的应变能U为：

应变能U对X1求偏微分便可得到B点处的位移：

最后再令B点位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此时，梁的弯矩图如图3所示。

图1 力学模型

图2 基本单元

图3 弯矩图

3． 实例运用

结合Maple语言与卡式定理，便可求解出任意超静定次数的连续梁内力。以图4所示

的四次超静定连续梁为例，简要描述该求解器的使用方法。

图4 四次超静定连续梁简图

取该连续梁的基本单元如图5所示。去除左右两端固定端，代之以铰，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中间两个铰支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。

图5 连续梁基本单元

将基本单元上的各个集中力、集中力偶与均布力以矩阵的形式输入Maple中。以集中力矩阵JZL为例，该矩阵的每一列均代表着一个集中力，具体如图6所示。矩阵的第一列表明，该基本单元上作用有大小为128kN的集中力，且该集中力距离左端支座2m，距离右端支座10m。

图6 集中力矩阵

外荷载输入完毕后，Maple便会基于卡式定理，依次进行偏微分运算与四元方程组求解，最终绘制出该连续梁的弯矩图，如图7所示。

图7 连续梁弯矩图

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