自由度	6
整机重量	约16kg
末端负载	3kg
重复定位精度	±0.02mm
工作半径	614mm
高度	805mm
供电电压	DV48V
额定功率	一般小于150W
各轴运动范围/最大速度	轴	工作范围
	基座（1轴）	±179°/148°/s
	肩部（2轴）	±146°/148°/s
	肘部（3轴）	±146°/148°/s
	腕部1（4轴）	±179°/148°/s
	腕部2（5轴）	±179°/148°/s
	腕部3（6轴）	±179°/148°/s

图2.2机械臂规格及关节命名

2.3.2夹持器的选取方案

当协作机器人被选取后，它们的工作方式就会因不同的末端执行器变化而变化，当一个机器人被安装上不同的执行器时，它们就会被分配到不同的工作中，而这篇文章中，协作机器人的工作就是抓取和移动试管，因此，终端执行器选择了夹持器。

在机械臂使用中，被夹持物体和机械臂的重要介质是末端执行器。常规的被夹紧对象和夹持机构的接触是刚性的，利用对接触器的作用，使其产生的摩擦增加，从而达到抓取的目的。这种由于接触压力增加，刚性接触往往会对待抓取的工件表面产生损害，尤其是本论文所述的目标夹持物——试管。适当提高夹具的弹性，使其能迅速地适应对象的外形，可以减少对试管的伤害。

在众多夹持器设计论文中，本文选择使用侯志刚等教授共同研发设计的模拟变色龙手指的对握式柔性夹持器。该系统充分利用TPU的自身特性，实现对不同形状、尺寸、重量和材质的不同物体的抓取，并通过调节内部支撑尺寸来调节其弹性。在柔性夹具的设计中，利用 SolidWorks软件对其进行了结构优化，并运用了拓扑优化法，节约了材料，降低了挠性支架的重量。

大致样式如图2.3所示。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图1

图2.3柔性夹持器示意图

2.3.3试管夹持搬运的轨迹规划方法的选取方案

机器人的轨迹规划主要有笛卡尔空间轨迹规划和关节空间轨迹规划两大类。如同上文轨迹规划发展现状中所提及的，笛卡尔空间轨迹规划因为其需要进行大量的矩阵计算并且操作空间的参数很难通过传感器直接获得，所以只有在对机器人工作末端轨迹有特殊要求时才采用。

因此，本论文选择了应用较广的在关节空间的轨迹规划。而多项式插值方法和样条插值方法是最常用的两种方法，多项式插值方法简便、实用，使用最多的是三次、五次多项式插值。其中，三次多项式函数有4个系数，其限制条件有：起始位置、终点位置、起始速度和终点速度，但不能设置起始和结束时的加速度为0，这会引起机械臂在起始和结束时的加速度太大而引起振动。而五次多项式插值方法由于具有6个因子，因此可以在起始位置、结束位置、开始速度和结束速度四个限制条件下，增加起始加速度和结束加速度的限制，从而使其更加稳定、平滑。

在后文中，会增加对三次和五次多项式插值法比较的仿真实验，并在综合考虑后选择使用五—三—五多项式插值法。

2.4本章小结

本章针对试管夹持搬运机器人协作或取代作业人员进行作业的要求，对整个作业进行了需求分析，并指出了完成作业所需的问题，并给出了相应的解决办法和关键技术，并给出了相应的解决方案和关键技术，最终确定了该系统的硬件结构和路径规划，为下一步的试验平台打下了坚实的基础。

第三章试管搬运机器人运动学建模

3.1机器人运动学的概述

运动学是机器人的基础，而现今绝大多数的运动学建模都是用的D-H参数法。逆运动学是利用机器人端点的姿态来决定机器人手臂的运动角；正运动则是根据每个机器人手臂的角位置来决定运动的末端位置。

3.2改进型D-H建模

D-H参数法利用的齐次变换矩阵，对相邻连杆之间的位置进行了分析，并利用齐次变换，建立得到了机构的运动学模型。又有一种改进型的D-H方法，与原先D-H参数法不同点在于它将连杆坐标系建立在关节轴上，这种改变还使得D-H矩阵和D-H的参数也发生了变化。

本文使用的是改进的D-H法，故不再赘述传统D-H法了。

在改进的D-H建模方法中共使用四个参数、、、。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图2

图3.1 连杆关系示意图

（1）连杆的长度：在示意图3.1中，在确定了两个关节的轴线后，连杆的长度就定义为关节的轴线与关节的轴线之间的公法线长度，即两轴线之间的空间最短距离。

（2）连杆的扭角：连杆的扭角就定义为关节的轴线与关节的轴线之间的夹角，由轴线指向轴线。

（3）连杆相对于的偏置：连杆相对于连杆的偏置就定义为关节上的两条公法线与之间的距离。

（4）关节角：关节角定义为连杆相对于连杆绕轴线的旋转角度，绕关节轴线测量，由指向。

于是采用改进型D-H参数法进行建模，所得参数如表3.2所示，所使用的协作机器人的结构图如图3.3所示。

表3.2 D-H参数表

关节	连杆转角	杆长	连杆偏距	关节角
1	0	0	0.144	(0)
2	90	0	0	(-90)
3	0	-0.264	0	(0)
4	0	-0.236	0.106	(-90)
5	90	0	0.114	(0)
6	-90	0	0.067	(0)

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图3

图3.3协作机器人的结构图

3.3机器人正运动学

由于该协作机械人的六个关节都是转动关节，因此从上表3.2所诉的参数中可以得到其邻近关节的齐次转换矩阵：

运动学正解方程为：

各指数展开如下：

其中、、、。

3.4机器人逆运动学

在正运动学的基础之上，通过对各个关节矩阵的逆矩阵进行左乘法，即可求出各个关节的末端姿态，并由此求出各个关节的角，如在上式（3.7）左右同左乘可得：

进而得知的值为：

为了方便计算，改变的D-H参数如表3.4所示

表3.4改变后的D-H参数

关节	连杆转角	杆长	连杆偏距	关节角
1	0	0	0.144	(0)
2	90	0	0	(-90)
3	0	-0.264	0	(0)
4	0	-0.236	0.106	(-90)
5	90	0	0.114	(0)
6	-90	0	0	(0)
7	0	0	0.067	0

并引入令，则

所以，

进而，

因此，的值为：

（1）的求解

三角恒等变换，令，，其中，，。代入由公式（3.25）所得的

中，可得：

即：

，

所以：

即：

（2）、的求解

由公式（3.25）可得：

进而可得：

其中。

代回公式（3.32）、（3.33）、（3.34）中可得：

（3）、、的求解

由公式（3.25）可得：

进而可得：

又由公式（3.25）可得：

消去，得：

其中：

代入公式（3.36）可得：

、

即：

所以：

、

又由求解的前后顺序，可知，有两组解，和有四组解，、和有八组解。

3.5机器人奇异点分析

机器人奇异点是指，在机器人末端点位固定的情况下，位姿却有很多种。这会导致在逆解有多个时，控制系统不知道按哪一个去执行。

本文在搬运试管的情况下为使效率提高，因此根据时间最优来对解进行取舍。以每个旋转关节的转动次数为最小的最佳目标函数，以完成全部工作任务。：

为优化目标函数使用梯度投影法，则的梯度为：

设定为六自由度机器人速度，则在笛卡尔空间内速度表示为：

于是，优化的过程可以总结为以下三步：①求出终端执行机构的当前位姿值；②确定下一个位姿的关节角；③将目标函数极小化，得到最优解。

这个过程保证了机器人逆解的合理性，又保证了运动的高效性。

3.6仿真验证

运用MATLAB中机器人工具包对上述内容进行仿真：

机器人模型图如图3.5所示；机器人正运动学示意图如图3.6所示；机器人正运动学结果如图3.7所示；机器人逆运动学求解结果如图3.8所示；机器人逆运动学示意图如图3.9所示；机器人逆运动学结果如图3.10所示。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图4

图3.5机器人模型图

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图5

图3.6机器人正运动学示意图

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图6

图3.7机器人正运动学结果

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图7

图3.8机器人逆运动学求解结果

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图8

图3.9机器人逆运动学示意图

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图9

图3.10机器人逆运动学结果

3.7本章小结

本章主要内容是对试管搬运机器人本身进行的一个机器人运动学方面建模，首先基于改进型D-H法建立起机器人的模型，然后进行正运动学和逆运动学的求解，接着讨论了机器人奇异点的情况并运用梯度投影法进行优化，最后，通过 MATLAB的机器人工具包对其运动特性进行了模拟。为后续的机器人轨迹规划打下基础。

第四章试管搬运轨迹规划

4.1轨迹规划概念

机器人轨迹规划是指机器人在笛卡尔空间和关节空间中进行轨迹规划和轨迹生成的过程。

轨迹规划就是按照作业要求，确定机器人的运动轨迹。在机器人的轨道规划中，首先要做的就是对其进行精确的计算与描述，当用户对其进行指令时，无需用户给出特定的运算，只需直接对其提出需求，由机器人根据需求做出相应的计划。比如，在本文中，需求就是让机器人自动完成试管的搬运，而不需要使用者提出任何实现方案，因此，在本章中，我们会对试管的搬运进行一些规划。通过机器人的自动控制，可以自动计算出路径的关键点位姿数据和时间速度等参数，从而生成搬运试管的运动轨迹。

4.2试管搬运工作过程描述

由于本课题的重点在于轨迹规划，目标是完成“搬运”过程，故默认试管处于盖紧状态，不考虑末端关节垂直的限制。

图4.1 机器人工作过程框图

机器人搬运试管的工作流程如图4.1所示，将过程中夹持器末端工作规划路线转化成一些关键点来表示。机器人从初始位置开始，末端首先运动到一号试管架试管上方点，然后末端垂直下降到点夹持试管，垂直回到点，接着运动到目标二号试管架上方点，垂直下降到点放置试管，垂直回到，最后运动回初始位置。

表4.2路线关键点表

过程点
目标	初始位置	①试管架上方	抓取	上升	②试管架上方	放置	上升	回到初始位置

4.3多项式插值

插值法又称“内插法”，是利用函数在一定范围内中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，将这特定函数的值用在区间的其他点上作为函数的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就叫它多项式插值。

在某些阶段，机器人需要对位置、速度、加速度等进行平滑处理，从而本文检验了三次多项式与五次多项式之间的相似度。

4.3.1三次多项式插值原理与仿真

三次多项式和其一次导方程，共包含四个未定因子，分别给出了起始点和目标点的角度和角角速度的限制。利用该方法，可以对空间的个点进行分析，它的轨迹规划使得它的速度和加速度都能保持稳定的轨迹。这种方法可以在段上解出各多项式插值的系数，并将其归一化。

（1）时间标准化

在三次多项式轨道规划的基础上，对各节点进行轨迹规划需要对段的轨迹进行设计，为了能同样处理个轨迹规划方程，本文引用了时间标准化算法处理时间，经过处理后的时间.

首先定义：

：标准化时间变量，；

：未标准化时间，单位为秒；

：第段轨迹规划结束的未标准化时间，；

机械臂执行第段轨迹所需要的实际时间：，其中,。

时间归一化后的三次多项式为

（2）机械臂轨迹规划算法实现过程

①已知初始位置为；

②给定初始速度为0；

③已知第一个中间点位置，它同样是第一段三次多项式轨迹运动的终点；

④为了保证连续性运动，需要设定所在点为三次多项式轨迹的起点，以确保运动的连续；

⑤为了保证处速度连续，三次多项式在处一阶可导；

⑥为了保证处加速度连续，三次多项式在处二阶可导；

⑦以此类推，每一个中间点的位置，都一定要在其原运动段轨迹的终点，并且也是它后运动段的起点。

⑧的速度保持连续；

⑨的加速度保持连续；

⑩点位置。给定终点速度，设其为0。

（3）约束条件

第一个三次曲线为：

第二个三次曲线为：

第三个三次曲线为：

……

第个三次曲线为：

①在同一时间段内，三次曲线每次的起始时刻，停止时刻，其中。

在标准化时间处，设定为第一条三次多项式运动段的起点，可以得出:；

②在标准化时间处，三次多项式运动段第一条的初始速度是已知变量，所以得出：；

③第一中间点位置与第一条三次多项式运动段在标准化时间时的终点相同，所以可以得出：；

④第一中间点位置与第一运动段在标准化时间时起点相同，所以得出：；

⑤三次多项式在处一阶可导，因此可得出：；

⑥三次多项式在处二阶可导，因此可得出：；

⑦第二个空间点的位置与第二运动段在标准化时间时的终点相同，所以有：；

⑧第二个中间点的位置应与第三运动段在标准化时间时起点相同，所以有：；

⑨三次多项式在处一阶可导，从而有：；

⑩三次多项式在处二阶可导，从而有：；

……

⑪第个中间点位置和第运动段在标准化时间时的终点相同，所以有：。

⑫第个中间点位置应与下一运动段在标准化时间时的起点位置相同，所以有；

⑬三次多项式在第个中间点处一阶可导，从而：；

⑭三次多项式在第个中间点处二阶可导，从而：；

⑮因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间时的位置为: ；

⑯因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间时的速度为：；

三次多项式插值（轨迹两端点位置角速度为定值，适用于起点和终点速度均为零的情况）。

假设关节角符合以下式:

将相邻两个点看作一小段轨迹的起点和终点分别用和表示，约束起始速度,终止速度为。

将约束条件代入函数，可以求得系数（为简便计算，设）

三次多项式轨迹规划函数如下：

4.3.2五次多项式插值原理与仿真

五次多项式包含六个未定系数，若要求出这六个系数，则必须满足六个以上的条件。

五次多项式可以看成是关节角的时间函数，所以一阶和二阶可导是关节角速度与关节角加速度之间的关系。五次多项式及一阶二阶微分方程公式如下：

为了求得待定系数对起始点和目标点同时给出关于角度和角加速度的约束条件：

式中分别表示起始点和目标点的关节角，分别表示起始点和目标点的关节角速度，分别表示起始点和目标点的关节角加速度。将起始时间设为0，即得到解为：

4.3.3三次多项式关节插值法和五次多项式插值法对比

为了比较三次多项式与五次多项式插补的结果，需要机器人从起点出发，4秒钟后抵达终点，模拟时，起点和目标点的关节角速度为0。在此基础上，通过计算两个相邻的轨道角加速度的平均值，得到了一个中间点的加速度。通过 MATLAB模拟五次多项式插值，并与三次多项式插值进行比较，得出三个位置点速度和角速度都是一样的，同时增加角加速度限制：

三次多项式关节插值法MATLAB代码实现如图4.3所示，运行结果如图4.4所示。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图10

图4.3三次多项式关节插值法MATLAB代码

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图11

图4.4三次多项式关节插值法运行结果

图4.4中，红线曲线表示角速度变化，蓝色曲线表示角速度变化，而绿色曲线表示加速度曲线。在中间点2s处，速度曲线发生了突变，加速曲线则发生了更大明显的突变。

五次多项式关节插值法MATLAB代码实现如图4.5所示，运行结果如图4.6所示。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图12

图4.5五次多项式关节插值法MATLAB代码

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图13

图4.6五次多项式关节插值法运行结果

图4.6中实线为角度变化曲线，虚线为角速度变化曲线。而点线代表了角的加速度。结果表明：关节角、角速度曲线均较为平稳，而在中心点2s时，角加速度曲线发生了较大的变化。

通过对多项式插值方法的分析，发现多项式内插方法的空间轨迹平滑，运动稳定，并且随着阶次的提高，满足的限制条件也越来越多。

4.4两个路径段之间的过渡处理

在机器人搬运试管的过程中，会出现在两段线性插值轨迹之间的转折点的位移和速度出现突变等情况。经过全面的考虑，确定了在轨道拐点处使用直线函数过渡的方法。这是在采用直线插补法处理试管搬运过程中的位姿时，在两个点的范围内添加一个缓冲区。这是因为，抛物线过渡对管道运动的影响是恒定的，也就是在拐点处的速度不变，这种转变可以使得拐点的轨道更平稳。

一般采用抛物线过渡的过渡阶段，减速段的加速度等于加速度段的加速度，从而可以避免尖端，而且所用的加减量时间也是一样的。

而可按以下方法求得归一化因子：

设试管搬运的转折点抛物线过渡的两侧段速度为，两侧曲线加速度为。那么抛物线段的运动时间和位移分别为：

两侧运动总的位移和时间分别为：

可以求出过渡参数：

其中，，为插入点,,上式第一段和第三段是对称抛物线过渡段。

过渡段大致轨迹如图4.7所示。

UR机械臂正逆运动学分析与轨迹规划的图14

图4.7过渡段示意图

4.5本章小结

本章对试管搬运机器人代替人工的过程进行了轨迹规划，这是基于第三章的基础上的。

首先大致规划出机器人搬运试管过程的路线，并在路线上确定一些关键点，在点与点之间进行插补得到详细的规划路线。分析并比较了三次多项式插值法与五次多项式插值法的原理，考虑到在拿起与放下试管时需运动得更加平稳，于是采用五—三—五次插值法。又考虑到在两段插值之间的转折点的位移和速度出现突变等情况，于是，决定在轨迹转折点采用抛物线的线性函数过渡，这使得转折点处的轨迹更加平滑。

在完成了对试管运输机器人的路径规划后，使用 MATLAB中的机器人工具包，对其进行了建模，并对其进行了仿真和分析。

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