《经典力学》札记

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来源：龚明科学网博客，作者：龚明。

本文写作，有点模仿梅凤翔老先生的《分析力学及理论力学札记》的味道。他的文章在一些刊物上发表，我不这么做。这些短小的讨论，又类似周国平的著作。他的散文有个特点，即都是一些短小的类似格言一样的刊物。我写这些片段式讨论和总结，尽量做到言之有物。我希望这些可以作为经典力学教材的补充和总结。我的主要参考教材是Landau的《力学》和Arnold的《经典力学的数学方法》。札记指的是读书时摘记的要点和心得，故取名札记，是很合适的。

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经典力学的重要性

经典力学是理论力学或者理论物理的第一门课，学好经典力学是学好物理的关键。理论力学的思想——最小作用量原理等，会用在后续几乎所有的物理课程中。这门课有一条非常清晰的主线，即这个原理，理清这根脉络，是学好理论力学的根本。如果学好了，这门课的所有内容可以写在半页纸上。

但是这门课学起来会非常困难，有几个原因：第一，大二学生刚学完微积分和微分方程，但不熟练；第二，大量的近似，让人眼花缭乱；第三，大量的抽象的公式推导，很多公式的物理意义也难以理解（或缺乏明确的图像）。那么，如何才能学好呢？两个建议。第一，多证明一些基本的结论，多推导；第二，多用 Mathematica 的 NDSolve 和 Plot 等（也可以用其它软件）做数值模拟，碰到不懂的，就先模拟画图看看。这样可以对这些问题积累第一手的感觉，对提高自己的理解力和直觉能力有很大帮助。

物理图像很重要。在物理中，每个公式应该都有明确的物理意义和图像。在讲课的时候，我会尽量注意这些细节。学生们在学习的时候也要做到这一点。

第一个作业题是数值模拟双摆 (double pendulum) 的运动过程。学生需要用Mathematica 求解其运动方程，并观察简谐振动和混沌过程。这个摆是最简单的混沌摆。在WSU物理系门口，就有这样的一个混沌摆，我以前每次进楼，都会摇一下它并观察其复杂的运动过程。积累一些生活经验对于理解物理的运动会非常有帮助。

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经典力学的主要内容

如果按照内容来分，经典力学包括三个方面的内容，即拉格朗日力学、哈密顿力学以及经典力学的数学物理方法。目前绝大部分教材都按照这条主线来分，所以可以清楚地看到拉格朗日力学和哈密顿力学两个部分；但是有些教材则按照经典力学的主要运动形式和内容来分，比如朗道的《力学》等。这个比较容易理解，有些人喜欢把方法当作主线，而有些人把问题当作主线。此外，绝大部分教材不会讨论经典力学的数学方法，但是 Arnold 的经典教材《经典力学的数学方法》会介绍这些内容；这本书可能是这个方面最好的一本教材。经典力学的数学方法主要涉及的辛几何和辛代数（辛结构），在很多物理（尤其是几何部分）课程中都有用到。

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牛顿力学的“局限性”

牛顿运动方程以《经典力学》札记的图1 为基础，其中Fi 为力，它对应势能U=U(x1,x2,x3,⋯) 在xi 方向的梯度。这个方程在应用起来有一些明显的局限性。第一，它很难用来研究一些复杂的力学模型。这是因为在这些模型中，力和坐标等都不一定要有简单、直观的定义。这是因为在受限条件下，直角坐标不是一个很好的描述形式。第二，这个方程只适合在直角坐标系下求解，如果转到其它坐标系，比如球坐标、柱坐标，就会非常麻烦，比如我们不会有《经典力学》札记的图2 ，其中r 为球坐标的半径。此外，这个梯度∂rU 似乎也没有明显的意义。这个困难也可以从一些具体的计算问题中看出来，几个弹簧连接在一起的球的运动轨迹，斜面上滚动的小球，以及摆长可以变化的单摆的运动等。所以在一些有约束条件的系统中，利用牛顿运动方程，都是不好处理的。

力是牛顿力学的根本，每个地方都体现了力的作用。但是在很多力学课程中，比如电动力学、统计力学、量子力学等课程中，力的概念就没有那么根本了。注意，在这些“力学”中，力不是force，而是mechanics。

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Lagrange（拉格朗日）方程以及它的优势

我们记L=T−U，它对应动能和势能的差，比如《经典力学》札记的图3 和U=U(x)。代入下面的方程（注意《经典力学》札记的图4 和x 是完全独立的物理量）

《经典力学》札记的图5

这个拉格朗日方程可以直接给出牛顿运动方程，即《经典力学》札记的图6 。所以，拉格朗日方程和牛顿运动方程是完全等价的。这个方程包括两个部分，我们可以定义$p_i=\partial L/ \partial\dot{x}_i$（定义xi为坐标），那么pi 对应的是动量。这个动量对时间的导数，给出所谓的梯度力。所以，这个方程有明确的物理意义。这个新的公式有几个明显的优势。第一，它不需要明确给出力和加速度；第二，它对任何一个坐标都是成立的，比如假设xi=xi(q1,q2,⋯,qN,t)（这个函数是任意的）, 那么我们可以证明

《经典力学》札记的图7

这个性质保证我们可以对它做任意的坐标变换：柱坐标、球坐标、椭圆坐标、傅立叶变换等，它对应的拉格朗日方程不变。由此可见，拉格朗日方程有更加广泛的使用范围，可以用来研究非常复杂的力学过程。在逻辑上，拉格朗日方程如果可以有广泛的应用价值，必须可以在任意坐标系求解。非常遗憾，很多教材没有给出这个变换的证明；或者提到了，但没有明确点明其重要性（和意义）。如果我们可以在任意坐标下计算这些问题，那么我们可以选择最合适的坐标系/参考系，从而得到更多的守恒量。这些守恒量可以让我们的问题大大化简。

拉格朗日的第三个优势在于，它对应最小作用量原理——即哈密顿原理。拉格朗日是从达朗贝尔原理推导出这个方程的，而稍晚的哈密顿则是从最小作用量原理给出来的。它们的差别是，达朗贝尔原理是变分法的微分形式，但是哈密顿是变分法的积分形式。从电磁学中可以看出来，这两种描述是等价的。所以，如果定义

《经典力学》札记的图8

那么，上面的拉格朗日方程对应δS=0。显然，最小作用量的计算和坐标系无关（因为不同坐标系L 是不变的），所以上面的拉格朗日也和坐标选择无关。

第三个优势无与伦比，很有启发性。这是因为牛顿方程是二阶导数的运动方程，它的运动由一个最小作用量保障。那么，是不是所有二阶（或者高阶）微分方程都有类似的原理对应呢？对，《数学物理方法》或《数理方程》的变分法就做这个事情。当然，这个原理不一定百分之百成立；但是很多方程都有这个性质，即很多微分方程都是某些（物理）过程的δS=0（最小作用量原理）——困难在于如何寻找这样的L。我们可以认为这是二阶微分方程的“力学化”。至少所有力学问题相关的偏微分方程，都可以由这个原理保障。

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达朗贝尔原理和虚功原理

达朗贝尔原理说，对任意位移，都有

《经典力学》札记的图9

括号中的表达式即为牛顿运动方程。如果是静止/平衡系统，加速度为零，所以有《经典力学》札记的图10

。它表明对于平衡系统，对它的任意扰动，所有力做的功之和为零。反之亦然。可见，这个原理有直观的物理图像，所以拉格朗日定理有坚实的理论基础和直观的物理图像。遗憾的是，这个公式还需要引入力，但是力在一些复杂的系统中不好计算；如果转换到其它坐标系，则更加抽象。所以和牛顿力学公式一样，它的适用性有限。在力学教材中，它一般用来求解平衡问题。在高中竞赛中，它倒是一个重要的计算手段。

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理论力学的主要物理模型

理论力学主要处理的模型包括：

散射问题，它直接用在原子物理中，即所谓的卢瑟福散射；
两体问题，比如太阳和地球的体系，并证明椭圆轨道（可以证明圆形轨道不可能是拉格朗日方程的解）；
相互作用弹簧问题；
RLC和LC电路（这个模型说明很多非力学问题可以有类似的力学描述，以后很多问题都可以这样力学化。这是典型的类比法）；
电磁场问题，其拉格朗日为；
相对论问题，其哈密顿为；
耗散问题；
刚体转动和角动量问题（了解欧拉的贡献，欧拉转动和欧拉角等；在量子力学中，出现角动量量子化和对易关系；了解角动量守恒）；
小幅度振动问题和参数共振问题等。

所有这些问题都可以用拉格朗日方程描述。这些模型在量子力学中也有重要应用。

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认识达朗贝尔和拉格朗日，以及当时的时代背景

达朗贝尔 (1717～1783) 法国著名的物理学家、数学家和天文学家。他也是启蒙运动的重要人物，比如他和与当时著名哲学家狄德罗一起编纂了法国《百科全书》，并负责撰写数学与自然科学条目，是法国百科全书派的主要首领。他所处的时代，是法国启蒙运动时期，也是数学家云集的时期。在18-19世纪，法国和欧洲大陆出现了一批伟大的数学家和物理学家，包括欧拉、拉普拉斯、拉格朗日、伯努利、柯西、泊松、雅可比、高斯、阿佩尔 (Appel)、菲涅尔、阿拉果 (Arago)、傅立叶等。法国的数学从此崛起，直到今天，法国的数学研究依旧非常厉害。法国的数学传统，可以追溯到更早的笛卡尔、莱布尼茨和惠更斯等。这些科学家在波动光学方面也有重要贡献。法国对科学家的重视，可以体现在埃菲尔铁塔上的72人名，其中有很多伟大的数学家。

这些人之间有非常复杂的师承关系。比如约翰·伯努利是欧拉的老师，欧拉是拉格朗日的老师，拉格朗日又是柯西的老师。它们是数学的变分法的主要发明人，后来也自然而然把这个方法用在物理问题中，最重要的成果就是拉格朗日方程。随着牛顿的去世，欧洲的数学发展渐渐集中在以法国为中心的欧洲大陆，也直接导致了科学中心转移到法国。数学中的分析法引入物理中，取得了伟大的成就；拉格朗日的《分析力学》，据说没有一张图。

科学史在科学教育中扮演了重要角色。现在有人意识到科学史在思政教育中的意义，但是实践的人还太少；其实，科学史在厘清科学思想的起源和发展方面有重要价值，它在科学教育中的意义会更大。

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力学发展的几个重要/跳跃性阶段

力学理论的建立，经历了几个重要的跳跃。首先，牛顿建立了牛顿方程F=ma；后来，拉格朗日根据达朗贝尔原理给出了一个微分方程的描述，它等价于牛顿方程；接着，哈密顿给出了哈密顿最小作用量原理以及哈密顿方程，这个方程给出了哈密顿力学的数学结构，即所谓的辛结构；接着，诺特 (Noether) 建立了对称和守恒之间的关系；最后，在20世纪初建立了经典场论，并最终完成量子场论的建立。这是主线，如果仔细研究这些历史，比如参考梅凤翔老先生的《力学史》，会看到每个重要的进步，其实都有许多人的贡献。一个小的进步，汇聚为最终的重要的进步。这个进步的规律和所有其它科学的进步规律是一样的。那种跳跃式的进步，在科学史上也许是罕见的，或者没有的。

科学史关于科学是如何进步的，一直有争论：科学革命和科学渐进。我倾向于后者，并且认为科学革命的观点是因为这些人忽略了同时代很多人的贡献，导致了科学思想忽然产生的“假象”。这是仁者见仁的事情。

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为什么耗散不能写成拉格朗日的形式？

耗散系统的拉格朗日方程一般写成

《经典力学》札记的图13

其中 Qi 是耗散项。它一般不能写入L 中（假设这个拉格朗日是局域的），否则就有最小作用量原理了。其原因如下：假设存在L→L+f，其中f 吸收Q。此外，假设 Qi 和速度无关。那么《经典力学》札记的图14

。这是一个非局域相互作用，它的值和路径有关。可见，耗散项Q 不能被吸收到L 中。这个反证法在很多教材中都没有给出来，它们只告诉学生我们有这样一个结果。

这个结果也暗使我们，如果L 要变得有意义，必须是局域的，即任何一个物理量，它的相互作用只和当地的位置有关，和遥远的位置无关，也和过往的历史无关。如果按照上面的定义，我们的L→L+f (f 的定义见上面)，那么它和路径 (Path) 有关，就不是很好定义的了——选择哪条路径呢？可见，我们的教材给出了拉格朗日量，但是对它的形式的讨论太少，学生们的认知也不够。

这种非局域的拉格朗日，因为笔者知识有限，不做讨论。它给出了正确的牛顿运动方程，所以有一定的合理性。怎么理解这种性质可能是一个重要的、有趣的问题。考虑这个问题，其哈密顿为H=H 0 −f，运动方程依旧由哈密顿运动方程描述。

我要强调耗散（或者非保守系统）的重要性，这是因为对耗散的理解由几个重要的阶段。比如经典耗散可以认为是一个物体和一个环境的相互作用，即所谓的郎之万方程。后来，大约在1980年代，很多科学家将这些理论推广到量子郎之万方程上，即这些耗散也被当作算子处理，并给出量子耗散模型。此外，在腔动力学中，有著名的In-output（输入-输出）理论，这也是对耗散的重要认识。耗散有一些基本的结论，比如涨落-耗散定理。所以在讲耗散的内容的时候，可以：做数值模拟；介绍一些基本的推导和结论；介绍未来可能的应用。今天很多人研究的非厄米问题，其实也是非保守系统的重要内容。它很重要，这是意为任何系统都会和环境相互作用，所以耗散不可避免。

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经典力学概念在其它领域中的应用

经典力学中有很多概念被用在其它领域，列举如下：

哈密顿方程和共轭对 (conjugate pairs)。在统计力学中，dU=pdV−TdS，那么V 和S 是共轭量。Maxwell 首先引入了这些概念。
最小作用量原理，在电磁学，相对论，量子场论等领域，都有广泛用到。
绝热定理，即I=∮pdq，这个量成了量子力学的核心概念，也是几何相的核心概念。
转动过程以及欧拉角在量子力学中对应的是Lx、Ly 和Lz 算子，以及量子态在Bloch 球上的转动。对于自旋，它对应Pauli 算子。
LC电路在量子力学和量子信息中可以量子化，并给出量子比特。
电磁场的拉格朗日量在量子场论中给出最小耦合 (minimal coupling) 的思想。
经典力学中的回旋运动，在量子力学中对应量子化的Landau 能级。
经典耗散被推广到量子耗散。
经典力学的泊松括号到量子力学的对易子；以及这个括号对应的Lie 群和Lie 代数等。