基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真

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摘要

偏振是光的基本属性之一，也是光学课程教学中的重点内容。但由于课时限制等原因，光学课程对于光的偏振介绍比较简单，内容也局限于老旧内容。随着光学的发展，矢量偏振光束由于其独特的特性已经被广泛的研究和应用，因此，在光学课程中引入偏振发展的前沿知识，有助于学生探索新的光学发展领域，从而激发他们的学习兴趣，为推动教研融合作出积极贡献。本文以矢量偏振光束通过高数值孔径物镜的衍射为例，基于矢量衍射理论和MATLAB模拟仿真展示偏振态对光场传播过程和聚焦光场的影响。首先根据矢量衍射理论推导了聚焦场分布积分表示；然后借助MATLAB仿真给出了矢量偏振光束入射情况下聚焦光场分布；最后通过与常见的线偏振光和圆偏振光对比，对矢量偏振光束聚焦场分布进行了分析和总结。

关键词 偏振；矢量衍射理论；矢量光束；MATLAB仿真

Abstract As one of the basic attributes of light, polarization is the crucial content in the course of Optics. However, due to the limitation of class hours and other reasons, the introduction of polarization in the course is often relatively simple, and the content is limited to the old content. With the development of optics, vectorial beams have been widely studied and applied because of their unique characteristics. To this end, introducing the frontier knowledge of polarization development into the optics course is advantageous for the students to explore new areas of the optical development, which could inspire their leaning interest and thus make positive contributions to promoting the integration of teaching and research. In this paper, taking the diffraction of vectorial beam through high numerical aperture objective lens as an example, we investigate the influence of vectorial beam on the light propagation and focal field based on vector diffraction theory and Matlab simulation. First, the integral expression of focal field distribution of vectorial beam is derived according to vectorial diffraction theory. Furthermore, with the help of Matlab simulation, the distributions of focal field under the incidence of vectorial beams are provided. Finally, the focal field distributions of vectorial beams are analyzed and summarized by comparing with the common linearly polarized light and circularly polarized light.

偏振与振幅、相位和频率一样，是光的基本属性之一^[1]。一般而言，光的偏振指的是电场分量振荡的方向。我们知道自然光的偏振是随机的，当自然光通过偏振器或在某些特定的界面反射就形成了特定方向上的偏振光，比如线偏振光和圆偏振光。偏振不仅在我们的日常生活中有很多应用，包括偏振太阳镜，偏振相机和3D电影等，而且在偏振检测和偏振成像等科学研究方面也得到了广泛的应用。但由于课时限制等原因，以上内容基本是光学课程介绍的内容，相对比较简单和陈旧。光学的发展促进了新型偏振光的提出，比如矢量光束。矢量光束由于其在垂直于光传播方向的横截面具有非均一性的偏振分布，在量子存储、粒子操控、超分辨成像、纳米光刻和激光加工等领域具有重要的潜在发展前景。因此，有必要引入光学发展前沿，鼓励学生探索光学新发展，培养创新思维，从而激发他们的学习兴趣，促进教研融合。同时，考虑到知识的难度，我们需要结合虚拟仿真实验对光学理论和模型进行精确仿真和可视化，从而直观呈现抽象的物理过程，提高教学效果和学习效率^[2]。

本文以矢量偏振光束通过高数值孔径物镜的衍射为例，基于MATLAB模拟仿真展示偏振态对光场传播过程和聚焦光场的影响。对于低数值孔径透镜，只需使用傍轴近似或夫琅禾费近似的标量衍射理论。但是，对于高数值孔径透镜，聚焦光场与偏振状态密切相关，特别是对于矢量光束，聚焦光场将呈现显著的偏振特性^[3], 此时就需要使用由RICHARDS B和WOLF E在德拜标量衍射积分的基础上建立的矢量衍射理论^[^4,5]。借助矢量衍射理论，可以精确描述矢量光束的衍射光场分布，包括振幅、相位和偏振态等。首先，根据矢量衍射理论推导了聚焦场分布积分表示；进一步借助MATLAB仿真给出了矢量偏振光束入射情况下的聚焦光场分布，为学生提供直观的可视化结果。最后，通过与常见的线偏振光和圆偏振光对比，对矢量偏振光束聚焦场分布进行了分析和总结，有助于学生对偏振影响的整体理解和掌握。

1 矢量偏振光束

偏振光束根据空间分布可分为均匀偏振光和非均匀偏振光^[6,7]，线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光都是常见的均匀偏振光。非均匀偏振光在不同空间位置的偏振态不同，矢量光束属于非均匀偏振光。振幅和偏振态在光束横截面上以光轴为对称轴，分布沿径向方向有一定夹角φ₀的矢量光束，称为轴对称矢量光束,如图1(a)所示。当φ₀分别为0和π/2对应两种特殊形式：径向偏振光（图1(b)）和角向偏振光（图1(c)），它们的电矢量振动方向分别沿径向和切向。下面我们将讨论这两种特殊的矢量偏振光束在高数值孔径透镜下形成的聚焦光场分布。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图1

2 基于矢量衍射理论的聚焦光场

根据惠更斯-菲涅尔原理，光传播过程中，从点波源发射出的球面波在某一时刻波前的任意一点都可以视为次波源，各次波在空间某点上相干叠加形成该点上的总波扰。同样地，矢量衍射积分将衍射场中一点的场强看成是由球面波前上每个次级平面子波的矢量叠加，用积分表述为^[4,5]

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图2

其中E（P）表示焦点区域的电场，A（s）为聚焦球面波前任意一点电场矢量，s 是平面子波传播方向的单位矢量，r 表示像点P 的位置矢量，Ω为出瞳孔径对P 的立体角，如图2所示。一束平行入射的矢量光束经过透镜向焦点会聚，透镜后的波前看作是一个球心为焦点的球面波。球面上每一点到焦点的方向即为该条光线的前进方向，每个方向的光线偏振的方向和幅度用偏振矢量进行表示。所有光线在焦点处会聚，通过对孔径角范围内光线的偏振矢量进行积分，可以得出焦点附近的光场分布。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图3

根据矢量衍射角谱理论^[8]，将矢量衍射积分表示为次级平面子波复振幅的相干叠加，用平面波角谱理论进行分析。衍射光场可看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合，其中的角谱分量A（k_x,k_y,0）由光束在折射后的光场分布E₁决定，因此，聚焦光场的分布可以化简为

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图4

假设平行光束入射到焦距为f_obj的物镜，入射的电场矢量强度为E₀，经物镜折射后的电场强度矢量E₁表示为

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图5

其中cos^1/2θ 为照明光路中的切趾因子，表示球面波前的光场分布，与会聚角θ 相关。基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图6 是偏振变换矩阵，可以表述为

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图7

将公式(3)代入衍射积分公式(2)中并变换积分变量得到聚焦光场分布为

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图8

将不同偏振状态的E₀代入上式并用MATLAB计算积分，即可得到聚焦光场分布情况，分析入射光偏振态对聚焦光场分布的影响。

3 矢量光束聚焦光场及MATLAB仿真

假设入射光束光强分布为高斯分布，电场矢量E₀的偏振态用矩阵基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图9 表示，各种偏振光束的琼斯矩阵表示如表1所示。将不同偏振光束的矩阵表示代入到公式（3）并结合公式（4）就可以得到最终的聚焦光场分布表达式，接着利用MATLAB编程模拟计算聚焦光场积分。在计算过程中，我们选取焦距为2mm，数值孔径0.95的聚焦透镜作为算例。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图10

图3四行的图分别给出了x 线偏振光、圆偏振光、径向偏振光和角向偏振光的MATLAB聚焦光场在焦平面上的分布仿真结果。从左至右，每一列分别对应横向分量、轴向分量以及总光强，其中总光强即横向分量与纵向分量之和。为了进一步分辨出各分量之间的关系，图4~图7给出了它们沿径向的光强变化曲线。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图12

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图13

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图14

基于MATLAB的矢量光束聚焦光场仿真的图15

由图3~图7可以看到，不同偏振入射光的场分布具有显著的矢量偏振特征。具体而言，线偏振光在高数值孔径聚焦情况下产生了关于y 轴对称的轴向光场分量（图3第一行），虽然聚焦光场横向分量仍旧占据主导地位，但是由于轴向分量的影响，使得总光强分布成为了椭圆形（图4），其长轴平行于其偏振方向。圆偏振光聚焦场光强（图3第二行）偏振特性与线偏振相似，占主导地位的横向分量呈现光斑形式。而呈现环状分布的轴向分量使得光斑变大（图5）。与线偏振不同之处在于光强分布是圆对称的。

与线偏振光和圆偏振光对比，轴对称矢量光束，径向偏振光（图3第三行）、角向偏振光（图3第四行）的聚焦场都为中心对称分布，但各偏振分量分布比较特殊。径向偏振光的聚焦光斑仍为圆形，横向分量为环形分布，轴向分量远大于横向分量，占主导地位，如图6所示。同时轴向分量的半波瓣宽度远远小于总光强的半波瓣宽度，因此，通过一些手段,例如用高阶模式径向偏振光束照明^[9]，或者结合环形光瞳滤波器^[10,11]来增强轴向偏振分量，抑制横向分量，从而得到较小的衍射光斑，在超分辨成像、激光加工等领域具有重要应用。而对于角向偏振光，聚焦光斑为纯横向分量的环形分布，如图7所示。上述光场偏振特性都是用标量衍射积分所不能解释的，说明在高数值孔径系统中，矢量衍射理论才能准确描述光的传播和聚焦特性。

4 结语

本文根据矢量衍射理论推导矢量偏振光束的聚焦光场积分表示，并采用MATLAB模拟仿真实现了聚焦光场分布的直观显示。基于矢量光束经透镜聚焦的光场分布分析，在高数值孔径系统中，矢量衍射光束聚焦场具有以下特征：

（1）聚焦光场具有显著的偏振特性，要用矢量衍射理论进行分析计算；

（2）聚焦光场各偏振分量与入射光场偏振态相关，并且出现轴向偏振分量。经过高数值孔径透镜聚焦，光束的矢量偏振性质发生变化。径向偏振光在焦点附近轴向分量占主导，角向偏振光保持空心场分布，不含轴向分量；

（3）聚焦光斑受入射光偏振影响，利用矢量光束和高数值孔径的紧聚焦特性，能实现超衍射光斑^[9-11],在超分辨成像、激光加工等领域具有重要应用。

总之，基于MATLAB的模拟仿真结果形象地反映了矢量偏振光束的聚焦光场分布，有助于学生对于新型偏振光束这一光学前沿知识的整体理解和掌握。在此基础上激发学习兴趣，培养创新思维，为探索光学新发展和促进教研融合作贡献。

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