二阶反对称张量的一点理解

对于上式右端括号中的项,r为自由指标，(k,l)为哑指标，如果我们按哑指标展开：

自由指标r表示方程的个数

由于分量中的重复指标项等于0，顺指标为1，逆指标为-1，因此上式可变为

                                                                                                                                             .............. (*)

上式右端项已经作了如下变量代换

且wr(r=1,2,3)可以看作是如下矢量的分量

可以看到，w1、w2、w3分别为矢量w在e1，e2，e3三个轴的分量。

一般地，我们习惯把A记为W，于是

将上式代入的表达式，可以得到

上式两端同时乘以，可以得到

即

如果我们把wr当作一个向量w的分量，称为“轴向量”，很明显，矢量w与旋转张量W相关，实际上通过(*)式可知，wr恰好对应的是旋转张量W分量Wij的轴向方向，二者符合“右手法则”，如下图所示：

figure 1.  Antisymmetric tensor components and the axial vector[1]

对于矢量而言，有“投影”的概念，如：对于一个矢量v，投影到ei轴的分量表示为

同样，对于二阶张量亦有“投影”的概念，根据张量积的概念，张量的投影需要张量同两个矢量轴点乘，因此可以将二阶张量W的“二次投影”定义如下：

而若是一个矢量与张量点乘(左乘或右乘)，则是改变该矢量的方向和大小，称为“一次投影”，例如：

上式清晰描述了a矢量经W张量转向后在各个基矢量方向的大小。其中，i为自由指标，j为哑指标，于是将上式写成分量形式

由于，所以上式简化为

即

上式清晰表示了矢量a通过W转向后所得矢量在三个轴方向上的大小。另一方面，考虑到W与w有直接关系，W·a是一种转向、变大小的运算，叉乘运算也是一种转向、变大小的运算，因此下面我们计算轴向量w×a，看是否同W·a有直接关系：

对比可得

当然，上式关系也可通过上面的关系直接证得：

figure 2. Orthonormal basis defined by the axial vector[1]

下面我们考虑轴矢量w同某个新坐标系的某个轴方向重合（如figure 2所示），假设重合轴为，即，于是

矢量a在新坐标系中的表述为

所以

因此

W在新基的三个方向上的一次投影分量为

W在新基的二次投影分量为

W在新基上的分量可表示为

W分量和轴矢量在新坐标系中的表征如下图所示

由上图可知，此时新基方向对应单元的纯剪切方向。

参考文献：

[1] Chaves E W V. Notes on continuum mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2013.