NURBS参数空间与坐标空间的转化

问题描述：已知NURBS曲面，现在想根据x和y坐标的情况下，求z的值。由于 NURBS 曲面是参数曲面，在仅知道(x，y)坐标的情况下无法直接求出该点的矢高值，而是需要先将物理空间坐标值(x，y)转换成对应参数空间坐标(u，v)，然后再根据(u，v)值求解出该点的物理空间坐标(x，y，z)。由于(x，y)到(u，v)无法求出解析表达式，只能通过迭代求解。

参考文献：

NURBS自由曲面在光机设计和分析中的应用

The NURBS Book 2nd

迭代算法1：

距离矢量算法：

首先，建立已知的空间坐标(x，y)和待求的参数空间坐标S(u，v)之间的距离矢量公式如下：

当距离矢量 r 取得最小值时，r 和 NURBS 曲面在参数坐标所决定的空间点处的切向量的点积应为零

采用牛顿迭代算法求解方程组，对上式两端进行偏微分

所以

式中，δi是参数ui和vi的Newton迭代改进步长；

Ji为向量的雅可比矩阵，如下

由于雅可比矩阵比较复杂，该算法进行一次迭代需要计算NURBS曲面两次一阶偏导数和四次二阶偏导数。

迭代算法2：

光线追迹法

由于距离矢量法需要计算曲面的二阶偏导，速度较慢，因此研究了基于光线曲面求交方法的坐标转换方法。

为了求取NURBS曲面上横纵坐标为(x,y)的点的z值，假设有一条光线从点(x,y,0)以方向(0,0,1)出射并与曲面相交，则光线与曲面的交点即为所求的点。

光线矢量定义为两个空间平面的交线，如下图

两个平面分别表示为

Ni为平面的法线向量，是与光线方向垂直的单位向量；

di为原点距平面的距离。

当曲面上点为光线与曲面的交点时应该满足以下判断条件R

根据三维空间的牛顿迭法，上述方程可改写为：

上式中：J为R的雅可比矩阵。

Su (u,v)和Sv (u,v)为曲面方程分别关于u和v的一阶偏导，表示曲面沿着u和v向的切线向量。