Johnson-cook 本构模型 的umat子程序

Johnson-Cook 材料模型及失效模型。一般用于描述大应变（large strains）、高应变率（high strain rates）、高温（high temperatures）环境下金属材料的强度极限以及失效过程。在Johnson-Cook强度模型中，屈服应力（yield stress）由应变、应变率以及温度决定。

屈服应力的表达式为：

其中，A,B,N,M是材料参数，epsilon_pl是等效塑性应变，θ_m是无量纲的温度，定义为：

其中θ是当前温度，θ_melt是材料的熔融温度，θ_transition是转变温度，定义为屈服应力不依赖于温度的转变温度。材料参数A、B和n必须在转变温度或低于转变温度时测量。材料参数m应基于高于转变温度的测量值来确定，如果指定零值或未指定m值，则忽略σ0的温度相关性，当θ≥θ_melt时，材料将熔化，并表现为流体；由于σ0=0，因此不会有剪切阻力。通过将等效塑性应变设置为零，将消除硬化记忆。如果为模型指定了背应力，这些背应力也将设置为零。如果在材料定义中包含退火行为，并且退火温度定义为低于为金属塑性模型指定的熔化温度，则硬化记忆将在退火温度下删除，熔化温度将严格用于定义硬化函数。否则，硬化记忆将在熔化温度下自动移除。如果材料点的温度在随后的时间点低于退火温度，则材料点可以再次加工硬化。同时该模型可以考虑应变率效应，即等效应力表示为

等效塑性应变表示为

epsilon_0和C是材料参数。考虑应变率的Johnson-cook塑性本构模型可以写为

以上塑性本构模型可以在显式和隐式中进行定义，但动态失效模型仅在显式求解器中提供，该模型仅适用于金属的高应变率变形，Johnson-cook动态失效模型，基于单元积分点处的等效塑性应变值；假设当损伤参数超过1时发生失效。损伤参数ω定义为：

其中分子表示等效塑性应变增量，分母表示失效对应的应变，其中失效塑性应变，失效应变取决于应力三轴度，温度，和应变速率。即

其中d1–d5是在转变温度或低于转变温度时测量的失效参数。该模型最适用于真正动态的情况。对于需要移除元件的准静态问题，建议使用渐进损伤和破坏模型（渐进损伤和失效）或Gurson金属塑性模型（多孔金属塑性），使用该损伤模型时需要配合对应的塑性和硬化模型。

其中塑性模型相关的材料参数拟合可以参考网址：

abaqus中Johnson-Cook本构模型理解 - 知乎 (zhihu.com)

损伤相关参数拟合可以参考网址：

abaqus中Johnson-Cook损伤失效模型 - 知乎 (zhihu.com)

umat子程序验证

相同材料参数下，使用编写的umat子程序与显式求解器内置的模型进行对比，模型材料参数取自文献

模型尺寸为10*10*50（mm），沿着Z方向进行20%的拉伸。

材料参数分别为

杨氏模量：209Gpa

泊松比：0.29

塑性产热分数：0.9

材料参数A：380

材料参数B：1200

材料参数C：0.012

材料参数m：2.5

材料参数n：0.55

材料参数epsilon_0：1.0

转变温度Tr：293K

熔融温度Tm：2150K

材料参数d1-d5：0.1，0.7，1.5，0.005，0.84

模拟的结果

变形后显式与隐式结果的应力分布：

变形后显式与隐式结果的等效塑性应变分布：

可以看到显式与编写的隐式umat子程序具有良好的一致性，其中隐式计算需要大概600个增量步，而显式则需要700万的增量步，计算效率更高，但在高速冲击，切屑问题更建议使用显式程序进行计算