静电学中LambertW函数的应用以及Mathematica绘图

背景介绍

静电学中的一些结论，会涉及到一些复杂函数的使用。有时我们想要进行结果的可视化展示直观感受推导的正确性。这时可以使用Mathematica丰富的绘图支持和数学运算函数支持来完成该任务。

推导

Schwartz-Christoffel变换提供了一个从复数平面的封闭多边形内部到复数平面的无穷平行板的映射，正如下图所示。

这种类型的一种共形映射可以用来推导平行平板的电势的近似公式（考虑边缘效应）。

平面上点的电势容易计算出，并且可以通过反变换回到平面来得到应该的电势。

我们这里使用的共形变换是

效果大致如下图。

对进行改写，

其中，如果条件良好满足一些要求，可以确定。

总之，用Lambert W函数的形式来写，就是

其中，，表示向下取整，Im表示取虚部。在点处的电势是

Mathematica绘图

\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
 Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]

ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
  Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]

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