一类非局部GTN模型------考虑应变梯度效应GTN模型

应变梯度模型（Strain Gradient Model）是一种材料模型，由 Gurtin 和 Sternberg 在 1962 年引入的，用于研究非局部效应对连续介质行为的影响。然而，这个模型直到近年来才开始在纳米材料领域得到广泛的应用和研究。材料被视为连续、均质的介质，其行为由宏观应力和应变张量描述。然而，当材料的尺寸减小到与其微结构大小相同的数量级时，传统模型就不再适用，因为微观结构的影响变得更加显著。

应变梯度模型引入了一个额外的应变梯度项来描述材料的非局部行为。这个梯度项捕捉了在微观尺度上材料应变的变化率。

相对于传统塑性模型，应变梯度塑性模型的主要优势体现在

1. 更准确地描述纳米尺度下的材料行为。在纳米尺度下，材料的微观结构对其力学行为有着重要的影响。传统的连续介质力学模型无法很好地描述这种非局部行为，而应变梯度模型通过引入应变梯度项，可以更准确地描述纳米材料的力学行为。

2. 提高了预测材料性质的能力。应变梯度模型可以更好地捕捉材料的微观尺度下的非局部效应，从而提高了模型预测材料力学性质的能力。

3. 可以揭示材料行为的新特性。应变梯度模型可以更好地描述纳米材料的强度、韧性、断裂行为等特性，从而有助于揭示材料行为的新特性和机制。

4. 为纳米加工和纳米器件设计提供了指导。应变梯度模型可以帮助人们更好地理解纳米材料的力学行为，从而为纳米加工和纳米器件设计提供指导。例如，在设计纳米器件时，需要考虑材料的强度、韧性等特性，应变梯度模型可以帮助人们更准确地预测这些特性，从而指导器件的设计和优化。

在过去的几十年中，应变梯度模型得到了不断的发展和完善。其中一个重要的进展是基于变分原理的应变梯度模型，这种方法可以更好地处理材料的宏观和微观结构之间的相互作用。另外，还有一些新的应变梯度模型被提出，如扩散应变梯度模型、自适应应变梯度模型等，这些模型更加复杂，可以更好地描述纳米材料的非局部行为。

除了理论方面的发展，应变梯度模型在实验方面的应用也得到了大力推广。通过纳米压痕、纳米拉伸等实验技术，可以直接测量材料的应力应变曲线和强度等力学性质，从而验证和完善应变梯度模型。

在GTN模型中通过使用包含应变梯度效应的应变硬化，可以明显提高GTN模型在微纳尺度下模型的断裂预测能力，并可以引入微观内变量更好的与微观理论和实验进行对比分析，目前应用最广泛的方式是使用2004huang提出的基于机制的应变梯度塑性（CMSG）的传统理论，并与泰勒位错模型相关联，但不涉及高阶应力，因此不需要高阶边界条件，使得在通用商业求解器的实现成本大大降低。并被证明与高阶应变理论具有相近的预测能力

理论框架如下：

根据taylor位错理论，位错密度与剪切流动应力的关系可以表示为

其中μ为剪切模量，b是伯格斯矢量，α是取值在0.3和0.5之间的经验系数。位错密度包括统计存储位错的密度ρS和几何必要位错的密度ρG之和：

其中ρG与有效塑性应变梯度的关系表示为

r为nye位错张量，对于FCC材料通常为1.9，拉伸流动应力与剪切应力关系表示为

M为taylor因子，对于FCC材料通常为3.06

因此流动应力可以通过统计储存位错密度和几何必须位错密度进行表征，其中几何必须位错密度使用有效塑性应变梯度进行代替

假设单轴拉伸应力应变之间的关系表示为：

则统计位错密度可以计算为：

通常称L为材料内禀长度，为材料的特征参数，对于铜通常为0.004mm，镍为0.006mm，其计算方式为

通过gao等人的理论，有效应变梯度的计算为

值得注意的是huang的CMSG理论仅适用于比平均位错间距大得多的尺度。对于金属中位错密度的常见值，基于泰勒位错模型的SGP理论的物理有效性下限约为100nm。

通过方式可以改善GTN模型在微尺度下的预测能力

耦合基于机制的应变梯度塑性理论和GTN模型的案例展示

一个含孔洞薄板的单轴拉伸模拟

应力分布云图

几何必须位错密度分布云图

统计储存位错密度分布云图

孔洞体积分数

值得注意的是使用包含梯度效应的模型使用质量缩放要十分谨慎，可能造成剧烈的数值振荡，同时多积分点处理是多核运算也可能导致错误的数值模拟结果