仿真笔记——有限元四面体网格与六面体网格的争议

关于在有限元实体建模中，采用四面体网格还是半自动六面体网格，在CAE工程师中存在着广泛的争议。

对于包含局部薄壳特征的装配实体结构，在集中载荷的作用下，不同的材料属性，自动网格划分产生的不同的单元延伸率都会影响单元的计算精度，而不只是单元类型会对其有影响，复杂的设计往往会带来大规模的自由度问题。通常，检验单元的标准包括具备完整的形状函数多项式，边界连续性，适用于贴片测试，收敛性。这个问题的症结在于如何获得复杂区域的精确计算结果，而不是孤立的判断四面体和六面体网格的优缺点。

六面体和四面体各自优越性

IBM研究部门的A.O. Cifuentes 和A.Kalbag发表的一篇名为《三维四面体单元在结构分析中的性能研究》的论文，得出了一个有趣的结论。“……这里研究了一次和二次的四面体，及六面体单元在不同结构问题的特性，这些结构问题包括弯曲，偏转，扭转和轴向变形。观察到了采用二次四面体和六面体单元的分析在求解精度和CPU时间上是相当的。”

作者同样也指出了，对于简单几何，或者说可以方便的手动划分网格的模型，更多的依赖于8节点的六面体网格，通常称为“砌砖单元”。而对于复杂几何模型通常采用自动或半自动的方式划分网格，自动生成网格的算法通常采用四面体，而非六面体。原因是通常的三维模型不能精确的被六面体堆砌所描述，然而总能剖分为四面体单元的集合。

我们在结构研究分析中也总是对比四面体和六面体划分的模型，并得到了比较可靠计算结果对比。无论对于哪种单元类型，较少的节点数，会导致低精度。4节点四面体和8节点六面体通常用于近似直线的边界模型中，而对于曲线边界模型，要得到更精确的解，需要更多节点和单元数，或者采用10节点二次四面体，20节点二次六面体。

但值得我们注意的是，由于自动六面体划分的限制很多，采用半自动会耗费大量时间，因此采用二次四面体往往是最优选择。

是什么新技术在左右着这场辩论？

现有存在的技术是，划分网格是可以轻松的从1阶四面体和六面体网格分别转换成2阶四面体和六面体网格。采用P-method，可以在不增加计算机资源的前提下增加10节点2阶四面体的自由度，从而达到或超过20节点2次六面体网格的精度。比起是用四面体还是六面体的老生常谈，这才是提高计算精度，成本效益的根本所在。

混合迭代和稀疏矩阵的新技术的出现，可以根据求解的需要任意的选用1阶的四面体，六面体或采用P-method的2阶四面体，六面体。因此，对于复杂装配体可以在划分完实体网格后进行有限元的装配和连接。这种求解方式，在求解大规模自由度问题时节省CPU时间和存储空间。事实上，这一新技术的性能，以及10节点二次四面体具有较小带宽的系统矩阵，使得在相同求解精度的情况下，比20节点六面体求解更快。

为了避免一场新的辩论，这次看一看关于采用P-method和H-method的四面体和六面体的自适应网格情况。大多数工程师认为采用自适应网格是确保应力收敛和精度的唯一途径。无论H-method，还是P-method的自适应网格都广泛应用。H-method网格应用于高应力区，P-method可以通过增加多项式阶数，更好的描述单元的形函数。

采用P-element，可以简单但非常明显的提高四面体和六面体网格的精度。如果使用了合理的初始网格，网格重构就没有意义了。P-meshing方法只用于通过提高形函数多项式，从而增加应力求解精度的情况。四面体P-element的刚度矩阵比六面体的更稀疏，因此求解速度更快。4节点四面体P-自适应网格只有在减少求解时间是才应用。一般选用中间节点贴付于几何上的10节点二次四面体求解。

结 论

当需要更多数量的1阶四面体或六面体网格来保证几何精度和应力求解精度时，在保证相当自由度水平的时候，用2次四面体或六面体单元会大幅减少单元数，并得到更为精确的结果。

P-method的四面体和六面体单元，可以更好的啮合近似曲面几何形状，并在保证求解精度的情况下，减少求解时间。

10节点2次四面体系统矩阵带宽小于20节点2次六面体的，相同求解精度的情况下，求解时间更快。

在用工作站解决超大规模3维实体模型问题时，新的迭代和稀疏矩阵技术可以减少计算时间。

此外，应该很清楚，用六面体“砌砖”网格不只是很难用于划分大型复杂模型，对于划分含有细小特征和细节的模型，也存在很多问题。无论现有的软件如何吹嘘自己的六面体网格能力，在实际工程中，划分六面体网格确实会耗费你很多时间。因此，你需要判断，一味的追逐六面体，是否值得？

 文章来源CAE仿真学社