Mullins效应模型：

• 旨在模拟填充橡胶弹性体在准静态循环加载下的应力软化现象；

• 是对各向同性超弹性模型的扩展；

• 基于不可压缩各向同性弹性理论，并通过增加一个称为损伤变量的单一变量进行修改；

• 假设只有材料响应的偏量部分与损伤有关；

• 旨在模拟材料响应的情况，在该情况下，模型的不同部分经历不同程度的损伤，从而导致不同的材料响应；

• 当与粘弹性结合使用时，适用于长期模量；并且

• 不能与滞回现象一起使用；

  Mullins效应可应用于Standard和Explicit，同样可应用于弹性泡沫材料模型。

材料行为

    填充橡胶弹性体在循环加载条件下的真实行为非常复杂。为了建模目的，已经进行了某些简化。实质上，这些简化使材料行为具有两个主要组成部分：第一个组成部分描述了材料点（从未变形状态）在单调应变下的响应，第二个组成部分与损伤有关，并描述了卸载-重新加载行为。理想化的响应和这两个组成部分在以下各节中进行描述。

理想化的材料行为

    当将弹性测试标样从其原始状态开始受到简单拉伸，然后卸载，再重新加载时，重新加载原来的最大应变所需的应力小于初始加载时的应力，这种应力软化现象称为Mullins效应，反映了在先前加载过程中遭受的损伤。这种类型的材料响应在图1中以定量方式描述。

图1 理想材料模型的Mullins效应

图1和相关描述是基于Ogden和Roxburgh（1999）的研究工作，这构成了在Abaqus中实现的Mullins效应模型的基础。考虑未受应力的材料的主要加载路径a b b′，其中加载到任意点b′。再从b′的卸载时，路径b′B a随之而来。当再次加载时，软化路径会被追溯，如a B b'。如果进一步加载，经历路径b′c，其中b′c是主要加载路径a b b'c c′d的延续（如果没有卸载，则会遵循该路径）。如果在c'处停止加载，则在卸载时会遵循路径c′C a，然后在重新加载时追溯回c'。如果没有在c'之后进一步加载，则曲线aCc'代表随后的材料响应，而之后是弹性的。对于超过c'的加载，将再次遵循主要路径，并且所描述的模式会重复。

这是Mullins效应的理想表示，因为在实践中，在从主曲线卸载和/或具有粘弹性效应的情况下如滞后效应，通常会在原始曲线对应的应力略低的情况下卸载再加载到先前达到的最大应变水平。此外，对于某些填充弹性体的循环响应，在从某个最大应变水平卸载并随后重载时表现出逐渐损坏的证据。这种逐渐损坏通常发生在前几个循环中，并且材料行为很快稳定下来，以便在第一个循环之后进行加载/卸载循环。

从此处开始，加载路径a b b'c c′d将被称为“主超弹性行为”。主超弹性行为通过使用超弹性材料模型来定义。

应力软化在微观层面上解释为：随着材料的加载，损伤是通过填充剂粒子和橡胶分子链之间的键发生断裂来实现的。不同的链环在不同的变形水平下断裂，从而导致宏观变形和连续的损伤。

主超弹性行为

    超弹性材料可以通过应变能势函数U（F）来描述，该函数定义了材料在单位参考体积（初始配置中的体积）中存储的应变能量。F是变形梯度张量。为了解释Mullins效应，Ogden和Roxburgh提出了一种材料描述，该描述基于形式为U（F，η）的能量函数，其中额外的标量变量η表示材料中的损伤。损伤变量控制材料的特性，因为它使材料响应在循环加载时加载路径不同于初始状态加载时的路径。由于上述η的解释，不再适合将U视为存储的弹性势能，部分能量以应变能量形式存储，而其余部分由于损伤而耗散。图1中阴影部分表示由于变形至点c'而由损伤所耗散的能量，而未阴影部分则表示可恢复的应变能量。

为编写Mullins效应的本构方程，通常将应变能密度分解为两个部分：U=Udev+Uvol

上述方程中，U、Udev和Uvol分别是应变能密度的总量、偏量和体积量。在Abaqus中，所有超弹性模型均使用分离为偏离和体积部分的应变能势函数。例如，多项式模型使用以下形式的应变能势：

右侧的第一项表示弹性应变能密度函数的偏量部分，第二项表示体积部分。

改进的应变能密度函数

Mullins效应是通过使用改进型能量函数来解释的：

其中，Udev(λ̄i)是主超弹性行为的应变能密度函数的偏量部分，例如，由上面给出的多项式应变能势函数右边的第一项定义；Uvol(Jel)是应变能密度的体积部分, 例如，由上面给出的多项式应变能势函数右边的第二项定义；λ̄i(i=1,2)表示偏离主应变的主拉伸；Jeℓ表示弹性体积比。函数ϕ(η)是损伤变量η的连续函数，被称为“损伤函数”。当材料的变形状态处于主超弹性行为的曲线上的一点时，η=1，ϕ(η)=0，U(λ̄i,1)=˜Udev(λ̄i)+˜Uvol(Jel), 改进型的能量函数就会归结为主超弹性行为的应变能密度函数。损伤变量在变形过程中连续变化，始终满足0 < η ≤ 1。上述能量函数形式是Ogden和Roxburgh提出的扩展形式，以解释材料的可压缩性。

应力计算

通过上述能量函数的修改，应力可以表示为：

其中，˜S是在当前偏形变水平λ̄i下对应于主超弹性行为的偏应力，而˜p是在当前体积形变水平Jeℓ下对应于主超弹性行为的静压力。因此，由Mullins效应导致的偏应力可以通过简单地将主超弹性行为的偏应力与损伤变量η相乘而获得。压力应力与主行为相同。该模型预测了沿着单个曲线（通常与主超弹性行为不同）的载荷/卸载从任何通过应力 - 应变图起点的给定应变水平开始。它无法捕捉卸载后的永久应变。该模型还预测，纯体积形变与损伤或Mullins效应毫无关联。

损伤变量损伤变量η随着形变而变化，其变化规律如下：

其中，Umdev是物质点在其形变历史中的˜Udev的最大值；r、β和m是材料参数；而erf(x)是定义为误差函数的函数：

当 ˜Udev=Umdev 时，对应于主曲线上的一点时， η=1.0。另一方面，η达到其最小值ηm，该值由以下公式给出：

当形变消除时， η 达到其最小值 ηm ，即 ˜Udev0 时。对于所有中间值的 ˜Udev ，η在1.0和ηm之间单调变化。虽然参数r和 β 是无量纲的，但参数m有能量的维度。当 β=0时，η的方程式缩减为Ogden和Roxburgh提出的方程式。材料参数可以直接指定，也可以基于卸载-重新加载测试数据的曲线拟合由Abaqus计算得出。这些参数要遵守限制条件r1、β≥0和m≥0（参数β和m不能同时为零）。或者，可以通过Abaqus / Standard中的用户子程序UMULLINS和Abaqus / Explicit中的VUMULLINS来定义损伤变量η。

如果参数 β=0，而参数m的值与Umdev相比较小，从相对较大的应变水平开始卸载时可能会变得非常陡峭。结果，响应可能变得不连续，如图2所示。

图2 卸载时出现了刚度过大的反应

    这种行为可能会导致Abaqus/Standard中出现收敛问题。在Abaqus/Explicit中，高刚度将导致非常小的稳定时间增量，从而导致性能下降。通过选择较小的β值可以避免这个问题。选择β=0可用于定义原始Ogden-Roxburgh模型。在Abaqus/Standard中，β的默认值为0。然而，在Abaqus/Explicit中，β的默认值为0.1。因此，如果您没有指定β的值，则在Abaqus/Standard中假定为0，在Abaqus/Explicit中假定为0.1。

    通常情况下，参数r、β和m没有直接的物理含义。参数m控制低应变水平是否会发生损伤。如果m=0，则在低应变水平会有大量损伤。另一方面，非零的m会导致低应变水平几乎没有损伤。在固定其他参数的情况下，单独改变参数r和β的定性关系如图3所示。

左图显示了从某个最大应变水平开始的卸载-重新加载曲线，对于不断增加的r值，它表明参数r控制损伤量，r越大，损伤变量η与1之间的差别就越小。右图显示了从某个最大应变水平开始的卸载-重新加载曲线，对于逐渐增加的β值，该图表明增加β也会导致较小的损伤量。它还显示了卸载-重新加载响应以ηm˜σ给出的渐近响应逐渐接近，其中ηm是η的最小值，对于较小的 β值，η的渐近响应趋近于更快的响应。虚线曲线表示两个不同的β（β1和β2）的渐近响应。对于固定的r和m值，ηm是β的函数。特别地，如果m=0，

如果Umdev远大于m，则上述关系近似成立。

如何指定Mullins效应参数

在 Abaqus中有两种方式确定Mullins效应参数，一种是直接输入系数 r, m, and β，也可以指定为温度或场变量的函数。另一种是输入测试参数，软件自动评估参数。

不同应变水平下的实验卸载-重新加载数据可用于最多三个简单的试验：单轴、双轴和平面应变。Abaqus随后将使用非线性最小二乘曲线拟合算法计算材料参数。通常最好从几个涉及不同形变类型的实验中获取数据，在实际应用的应变范围内使用所有这些数据来确定参数。如果主要超弹性行为是通过测试数据定义的，则获得主要超弹性行为的良好曲线拟合也很重要。

默认情况下，Abaqus尝试将所有三个参数拟合到给定的数据中。一般情况下，这是可能的，除非测试数据对应于仅从单个Umdev值卸载重新加载的情况。在这种情况下，参数m和β无法独立确定；必须指定其中一个。如果指定m或β，Abaqus需要为这些参数之一假定默认值。鉴于先前讨论过的可能问题，β=0时，Abaqus假定在上述情况下m=0。也可以通过指定任意一个或两个材料参数为固定的预定值来进行曲线拟合。

可以从每个测试输入输入所需的数据点数。建议将来自同一材料的所有三个测试数据（样本）包括在内，并且数据点涵盖从/到在实际加载中预期出现的名义应变范围的卸载/重新加载。

应变数据应给出为名义应变值，应力数据应给出为名义应力值（单位原始横截面积的力）。这些测试允许输入压缩和张力数据。压缩应力和应变以负值输入。对于每组测试数据，最大名义应变的数据点标识了卸载点。该点由曲线拟合算法用于计算该曲线的Umdev。图4显示了来自三个不同应变水平的一些典型卸载-加载曲线。

图4 经典的Mullins效应测试曲线

输出变量

除了常用的输出变量，还有一些只针对Mullins效应输出的变量，如下：

DMENER损伤引起的单位体积耗散能量。

ELDMD单元内由于损伤而总耗散能量。

ALLDMD整个（或部分）模型中由于损伤而耗散的能量。ALLDMD的贡献已包含在总应变能ALLIE中。

EDMDDEN单元内单位体积由于损伤而耗散的能量。

SENER 单位体积能量的可回收部分。

ELSE单元内的可回收部分能量。

ALLSE整个（部分）模型中的可回收部分能量。

ESEDEN单元内单位体积的可回收部分能量。

图1中表示形变至 c ′ 的阴影部分面积所代表的是损伤能量耗散，计算方式如下。当损伤材料完全卸载时，改进能量函数具有残留值 U ( I , η m )=ϕ(ηm)。能量函数在完全卸载时的残留值代表了材料中由损伤引起的能量耗散

从增强能量中减去耗散能量即可得到可恢复的应变能量。

REF：

[1] Ogden,  R. W.,  and D. G. Roxburgh, “A Pseudo-Elastic Model for the Mullins Effect in Filled Rubber,” Proceedings of the Royal Society of London, Series A, vol. 455 2861–2877, 1999.

[2]Modeling the Mullins effect of rubbers used in constrained-layer damping applications.

文章来源：ABAQUS仿真世界