综述 | CFD不确定度量化方法研究综述
随着计算流体力学（CFD）算法和软件的不断发展和完善，CFD 数值模拟已经在涉及流体力学的各个领域发挥着日益重要的作用。不确定性因素在 CFD 计算过程中普遍存在，并且会对数值模拟结果造成影响。发展 CFD 不确定度量化方法，既能满足工程实践中对 CFD 可信度评估的需求，同时也能够支撑飞行器的精细化设计。本文旨在总结不确定度量化方法及其在 CFD 领域中的发展与应用。
不确定度量化的目标是定量地分析不确定因素对计算结果的影响。不确定度量化工作围绕以下四个方面展开：
（1）识别。明确不确定性产生的来源。
（2）表征。探究不确定性的表现形式，并用恰当的数学表达对其进行表征。
（3）传播与融合。采用不确定度量化方法研究不同种类不确定性变量在CFD系统中的传播，并给出数值模拟结果的整体不确定度。
（4）分析。分析变量的不确定性对于CFD系统的影响。
网格的拓扑关系、黏性网格的第一层高度、增长率以及网格的空间分布等因素决定了网格的质量，也影响了CFD计算的收敛以及数值模拟的最终结果。如图1所示，Celik等[48]在Richardson外推方法的基础上提出了网格收敛性指标（GCI），并以此研究了网格数量对二维后台阶流动计算结果的影响，结果表明，在速度接近0时轴向速度对网格的敏感度最大。
图 1 二维后台阶流动轴向速度分布[48]
由于制造公差的存在以及对真实模型的简化处理，用于计算的几何模型与真实情况不可避免地存在着一些误差，从而引入几何外形的不确定性。图2给出了NACA5412翼型最大弯度、最大弯度位置以及厚度等不确定性因素影响下的升力系数不确定带。对于升力系数而言，最大弯度带来的不确定性最大，大迎角下厚度带来的不确定性较大。
图 2 NACA5412 翼型升力系数不确定带[51]
CFD流场求解过程涵盖了湍流模型、离散方法和数值格式等核心要素。这些模型代表了对物理问题的近似，然而不同的方法依据不同的假设，其近似的程度也有所不同，对这些要素的不确定性进行量化分析是CFD计算和可信度评估的核心环节。目前在流场计算这一层级的工作主要集中在湍流模型以及来流边界条件这两个方面。如图3所示，Zhu等[61]采用概率配置点方法考察了来流条件不确定性对NASA0714翼型跨声速抖振状态气动特性的影响。研究表明，激波运动区域对于来流条件十分敏感。
图 3 NASA SC(2)-0714 翼型表面压力系数及
脉动压力系数不确定带[61]
以湍流模式理论为基础建立的湍流模拟方法是目前CFD最常使用的计算湍流的手段。湍流模式理论以雷诺平均运动方程与随机脉动运动方程为基础，通过一系列的假设，建立描述湍流脉动量的封闭方程。在进行雷诺平均的过程中，将会进行多个层次的假设，引入潜在误差，从而限制模拟结果的可信度。
Duraisamy等[67]将RANS湍流模型中的不确定性来源归纳为以下四个方面：系综平均导致的不确定性、雷诺应力函数和运算表达的不确定性、模型中函数形式的不确定性以及模型系数的不确定性。图4中以雷诺应力输运模型和线性涡黏模型为例，标注出湍流模型中可能存在的不确定性来源。
图 4 不同类别的湍流模型以及其中的不确定性来源[67]
CFD系统非常复杂，涉及到大量的不确定性因素，将这些因素割裂分析将会忽略他们之间的联系，需要对CFD系统进行整体不确定度量化。混合不确定度量化方法被广泛地应用于CFD整体不确定度量化中。Duque等[85]开发了“Spectre”平台，该平台能够根据用户的自定义进行网格以及来流参数（马赫数、迎角、雷诺数等）的不确定度量化，实现CFD整体不确定度量化的商业化。图5展示了利用该平台对NACA0012翼型进行不确定度量化获取的升力系数统计信息。
图 5 NACA0012翼型升力系数累积密度分布函数[86]
对不确定度量化结果的分析也是不确定性研究中不可或缺的内容。一旦明确了CFD数值模拟中的各种不确定性来源和表现形式，并且对这些不确定性在CFD系统中的传递进行了量化，研究各类不确定性因素对总不确定性的贡献就显得尤为关键。敏感性分析常常被用来研究不确定性因素对CFD计算结果的影响大小。目前对敏感性分析的研究主要集中在提升效率和精度上。
如图6所示，Schaefer等[88]采用非嵌入式概率配置点方法研究了SA湍流模型系数不确定性对NASA CRM构型气动特性的影响，借助sobol灵敏度指标分析了SA模型各个系数的不确定度在总体不确定度中所占的比重。研究表明，SA湍流模型中系数σ和κ对于跨声速近壁面流动的影响最大。
图 6 NASA CRM模型表面压力系数结果图[88]
CFD不确定度量化首先需要辨识不确定性因素的来源，按照形式的不同选择恰当的方法考察不确定性在CFD计算过程中的传播，最终根据结果的统计特性分析不确定性因素对于CFD系统的影响。
目前针对几何外形、来流条件、湍流模型等因素的不确定度量化方法已经较为成熟，然而针对数值格式的不确定度量化工作开展较少，对计算网格的不确定度量化也仅仅是针对网格量这一因素。发展对这些不确定性因素的量化分析方法对于完善CFD系统的不确定度量化体系有着重要的作用。
文章来源：空气动力学学报
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