Part1交错网格

交错网格现在基本主流CFD软件都不用了，但是理解它能更好的理解Rhie-chow插值。

网格一般分为：

• 同位网格：

  所有的数据都存在网格的质心处（速度、压力等）。

  

• 交错网格

  为了解决棋盘震荡下，存在压力梯度但不能驱动速度的问题提出交错网格的处理方法。

  在原网格的基础上向右平移半个网格（一维）：

  此时速度变量存储在平移后的网格，而其它变量都存储在原始网格的质心。计算时有两套网格，移动后的网格质心为原始网格的边界面中心

  

  二维下的交错网格，根据动量方程中速度U，V的分量方向将其偏移半个网格分别得出计算速度u的网格和计算速度v的网格(在simple算法中U，V单独列方程计算的所以需要分开建立网格):

    															<img src="https://raw.githubusercontent.com/UltramanNOAS/cfdnote/main/202306160215963.png" alt="image-20230615234024953" style="zoom:50%;" /> 
  

  

  速度U网格：

  

  速度V网格：

  

  注：

  交错网格的缺点

• 二维有三套网格：1、原始网格 2、计算速度U的网格 3、计算速度V的网格。

• 交错网格的特点，速度变量存在原始网格边界面上，其他变量存在原始网格的质心上。

• 对于计算速度U时，所列的U的动量方程在U网格上（移动后网格的质心在原网格的U方向的网格边界面上）

• 对于计算速度V时，所列的V的动量方程在V网格上（移动后网格的质心在原网格的V方向的网格边界面上）

• 对于压力p则存储在原始的网格质心

• 三维问题和上述同方法处理

注：

• 当网格存在歪斜时，对原始网格的平移后会与原始计算区域存在误差。
• 极坐标下的网格也可以使用交错网格
• 通常境况下的非结构网格是不能使用交错网格的

Part2交错网格下压力梯度的表示

由于交错网格下的动量方程是在偏移后的网格上进行离散，故在网格边界面上的压力值则可以直接取得无需进行插值（压力存在原始网格质心即偏移网格后的网格边界面）：

注：

• 上图虚线为偏移后的网格，实线为原始网格。
• 这样的处理方法，使得压力的计算会受原始网格质点梯度差的影响（棋盘震荡下仅受到邻近网格影响） 。
• 这样处理可以解决棋盘震荡的影响

1交错网格下的simple算法

由于在NS方程中的P并不能直接求出，所以需要结合连续性方程对压力进行求解。

2simple算法的基本思想：

• 给一个初始的压力场 ，先根据动量方程计算处速度 , （在偏移后的网格上列动量方程，压力梯度使用上述方式表示）

• 此时 , 并不是精确解，因此需要进行修正:

• 和 都可以由动量方程推出（与压力的修正 有关）

• 求出后的速度场不一定满足连续性方程，故在原始网格上列出连续性方程（此时原始网格的边界上的速度已经计算出无需进行插值处理），由于 , 已知而 ， 为 的函数（这里忽略了邻近网格的贡献量以为速度主要有压差产生），因此通过连续性方程可以求解出

• 计算出后 ， 也可计算出来了，对计算变量进行修正：

• 返回到第一步进行循环

3simple算法

原始网格：

平移后的网格：

连续性方程离散（密度为常量）这个方程是在原始网格上列出来的：

动量方程离散（稳态）这个方程是在偏移后的网格上列出来的（质心为原始网格的边界面）：

simple数学计算

• 给定一个初始的压力场

• 列出动量方程离散形式，求出速度 ：

  

• 求出满足动量方程的速度场 ，但它不精确需要修正添加修正项 ，压力也同理：

• 修正值的计算：
• e面上的动量修正方程：
• e面上的动量修正方程：
• 
• 
• 
• 
• 将其简写为：
• 
• 
• 精确解的下动量方程：
• 计算下的动量方程可以写为：
• 修正项（用精确解的下动量方程减去计算下的动量方程）：

• 将其带入连续性方程（在原始网格上列出）：

  

将压力梯度修正项用上述压力梯度相同方式处理：

写出压力修正项的离散方程，求出 ：

注：下划线部分在计算收敛时为0，对整体解没有影响，因此可以忽略故这部分等于0（另一个解释就是 为邻近网格对速度的贡献，它可以忽略，因为压力梯度才是驱动速度的根本原因）

是由于 速度场不完善造成的，当 为精确解时 ，因此它可以作为收敛的的判定条件

• 将求出的 带回动量方程修正方程求出速度修正项 ，然后对速度和压力进行修正：

• 用修正后的速度U，再求源项或其他速度耦合物理量 (它会影响流动如粘性阻力和惯性阻力)，若不该物理量不影响流动则可以用最终收敛后的速度后再进行计算。

• 以修正后P为初始压力场，将修正后的的U与耦合项 及相关源项带入第一步的动量方程进行循环