密铺平面：基于2，φ，ψ，χ，ρ 的12个新的代入镶嵌

相似三角形剖分

新函数 GeometricScene 的参考文档页面有一个巧妙的示例，给出了下面的代码片段，其中 GeometricAssertion 调用七个相似三角形：

使用初始化部分定义的 SqrtSpace 求笛卡尔坐标。

皮索数

塑胶常数 P 是最小的皮索数（Pisot number，大于1且单位圆盘中有共轭元素的实数代数整数）。这是前四个和第九个皮索数，将值显示为外部的点和内部的共轭元素。

这是参考文档中提到的第二个巧妙范例。将多边形分解为相似三角形：

这个解可以被扩展为九个相似三角形。

黄金和超黄金比例

与 P 和 X 相关的是黄金比例，在比萨的列奥纳多·波那契1202年的著作《计算之书》（Liber Abaci）中有提到。本书的开始是阿拉伯数系统

《计算之书》后面介绍了兔子问题，引出我们现在常说的斐波那契数列。“Fibonacci” 这个名字于1838年由“filiusBonacci” 或 “Bonacci之子”得来。

这显示了斐波那契兔数列及其与黄金比例（phi）的关系。

1356 年，Narayana 在他的书 Ganita Kaumudi 中提出了以下问题：“一头母牛每年生下一头小牛。小牛在三岁时生出另一只小牛。一头奶牛在二十年间产生的后代数量是多少？“

我们可以使用 Mathematica 来显示 Narayana 奶牛序列及其与(psi)的关系，即超级黄金比例。

巴都万（Padovan）数列和佩兰（Perrin）数列中连续项的比率都趋向于，如 Fibonacci 和 Padovan 螺旋恒等式和 Padovan 的螺旋数所示。这里显示了这两个兔和牛序列：

构造几何图形

几乎所有的正多面体和阿基米德立体都可以通过作用于上的八面体组或者作用于  上的二十面体组来构建。以下情形除外：

1. 扭棱立方体需要的一个根（泰波那契常数）。

2. 扭棱十二面体需要的一个根。

3. 扭棱三十二面体需要的元素（未显示）。

这将构建顶点坐标位于给定代数域的前两个扭体。

如果两个根具有相同的判别式，则它们通常属于相同的代数域。这是泰波那契常数的两个多项式。

泰波那契常数是多项式奇数系列的一部分，这些多项式将黑格纳（Heegner）数和 j 函数联系在一起，以多种方式导出极端接近整数（Almost integer）。

这些剖分都可以在第 12 版中找到。

的第三个根可以求解圆盘覆盖问题和 Heilbronn 三角形问题。

无穷级数

目前为止所引入的许多数值都可以表达为自身负幂数的无穷级数。

通过将面积为 2 的等腰直角三角形剖分成越来越小的相似三角形可以证明第一个级数。或者使用此处所示的相似三角形无限剖分。

的无穷级数也可以用相似三角形的无穷集合来说明。

的无穷级数可以用无穷个相似 Rauzy 分形来说明。

的无穷级数可以用无穷个相似分形来说明。

这是上述值的表格：

重复剖分

实际上这些“自我加和”的无穷级数也有不寻常的自相似三角形剖分，在演示项目 Wheels ofPowered Triangles 中可以窥豹一斑。

重复剖分；为了减少混沌，具有相同方向的三角形颜色相同。这是 18 步后的剖分。

下面的风车镶嵌并没那么无序。风车三角形最终具有无限多个方向，但混沌进展的速度比前面所示的慢。

这是 180 步后 X 分形的一部分。

这是 40 步后塑料分形的一部分。

通过在剖分中使用对称性，结果证明存在具有不同属性的十二个代入镶嵌 (substitution tilings)。

“巧妙范例”确实巧妙，十二个新的代入镶嵌就此产生。