FEA 中的一个基本问题-凹角应力奇异的本质

        通常，当您使网格变得更细时，应力会收敛到其标称值 。然而，情况可能并非总是如此。下面我们有一个承受拉力的圆轴，具有不同的网格尺寸：正如您所看到的，随着网格变得更细，最大应力继续增加（发散），并且始终集中在截面突变最后一行单元上。这是否意味着 FEA 已失效，我们不能再相信其结果？完全不是——这是一种称为凹角的应力奇点。

什么是凹角？

我们可以将凹角定义为完全尖锐的内角，它会导致零件的刚度发生突变。由于刚度的突变，凹角处的应力始终会发散。  

 

让我们用一个例子来说明这一点。这里我们有四个梁单元以一定角度排列，并标记了单元和节点。由于单元 3 沿 x 轴，其刚度矩阵涉及节点 3 和 4 处形状函数相对于 x (dN/dx) 的导数。然而，在节点 3 处，形状函数相对于 x 的导数为 0，因为元素 2 沿 y 轴。这导致刚度矩阵仅包含 0。

由于单元 2 沿 y 轴，其刚度矩阵涉及节点 2 和 3 处的形状函数相对于 y (dN/dy) 的导数。然而，在节点 3 处，形状函数相对于 y 的导数为 0，因为元素 3 沿 x 轴。这也会导致刚度矩阵仅包含 0。无论使用哪个元素来制定刚度矩阵，节点 3 处的刚度矩阵也将全部为 0，从而导致应力奇点。 

 

如果我们在此示例中添加圆角半径，则可以在节点 3 处制定刚度矩阵，因为元素 2 和 3 的 x 和 y 均发生变化。

凹角在 FEA 中非常常见 - 它们的出现可能是由于 CAD 中组件的建模方式造成的，或者是由于几何简化而产生的。

对于凹角该怎么办？

第一步（也是最重要的）是首先识别凹角！如果您不确定，可以随时尝试使该区域的网格更细，看看应力是否发散。

一旦确定了凹角，最简单的方法就是忽略凹角上的应力。 如果凹角不在关注的高应力区域，则此方法最有效。 通常，距离拐角一两个元素的应力更为真实。这在学术的术语中被称为 圣维南原理 ，其中指出：

“在远离载荷应用区域的物体上的点处产生的应力和应变将与具有相同静态等效结果并施加到同一区域内的物体的任何施加载荷产生的应力和应变相同”。

如果横截面允许，对凹角处的截面力进行手动计算通常也会给出更准确的结果，特别是在运行线性静态分析时。

如果凹角位于所关注的高应力区域，另一种方法是添加小半径，从而将应力奇点转变为应力集中。这将使网格正确收敛。此外，在几乎所有实际应用中，由于制造限制，实际上并不存在完美尖锐的凹角，因此添加较小的半径是有效的。

在此示例中，横截面直径为 10 毫米、长度为 10 毫米的轴在 X 方向上加载 500 N 的力。该分析是在线性静态假设下进行的。

在下面的轮廓中，轴和较厚的部件（直径为 30 毫米）之间没有半径。就像本博客前面的张力示例一样，拐角处的应力值会发散，因为没有半径，因此存在凹角。

上表将 FEM 的应力值与距凹角 1mm 处手工计算的应力进行了比较。正如您所看到的，在距拐角 1mm 处，FEM 应力与手工计算的应力相当吻合，而 FEM 应力在拐角处发散。手动计算应力的公式为

其中P是预期应力，V是剪切力，M是弯矩，A 是横截面积，I是面积惯性矩，r是半径。在距拐角 1mm 处，我们预计V = 500N，M = 4,500Nmm。

作为直接从 FEM 探测应力的替代方法，您可以拉动截面力，这将为您提供更现实的答案，该答案将随着网格变得更精细而收敛。

截面力，拐角：

截面力，距离拐角 1 毫米：

上表将根据截面力计算出的应力值（使用与之前相同的公式）与手动计算的凹角处和距凹角 1mm 处的应力进行了比较。与上表中的有限元力相比，两个位置的截面力均趋向于手动计算值。然而，有一个非常重要的警告 - 尽管凹角处的应力在现实生活中不会是无限的，但这些角仍然会是应力集中，因此应力会升高。该升高的应力相当于手动计算的应力乘以应力集中系数 (Kt)。如果存在已知或假设的半径，则可以使用Peterson 应力集中因子等资源来量化应力集中因子并与截面力结合使用来查找真实应力，这在下面的示例中完成。

在下面的轮廓中，同一轴添加了 0.5 mm 的半径。

上图显示，当添加小半径时，应力值会收敛。在这种情况下，由于半径引起的应力集中，这些应力将与截面力不匹配；然而，这种应力集中可以使用Peterson 的应力集中因子进行量化。下表中，之前拐角处的手计算应力乘以 Kt = 2.39，这是使用Peterson计算得出的。

上图显示，当添加小半径时，应力值会收敛。在这种情况下，由于半径引起的应力集中，这些应力将与截面力不匹配；然而，这种应力集中可以使用 Peterson 的应力集中因子进行量化。下表中，之前拐角处的手计算应力乘以 Kt = 2.39，这是使用 Peterson 计算得出的。

根据 Peterson 的应力集中因子：

需要强调的是，使用半径时网格尺寸确实很重要 - 如果半径的保真度不够，您将无法获得正确的应力值。 在上图中，圆圈区域中的应力彼此相差 <5%，其变化是由于每个网格尺寸（0.125mm、0.25mm 和 0.5mm）在半径范围内具有不同数量的单元。
最后的想法

        凹角是应力奇点，应力在数值上随着网格变得更精细而发散。虽然完美的凹角在现实生活中非常罕见，但由于几何简化，它们在有限元分析中非常常见。 处理它们的两种最有效的方法是忽略拐角处的应力或引入小半径。 了解如何有效处理这些问题是执行正确 FEA 的重要方面。

文章来源：abaqus仿真世界