HyperWorks仿真——随机振动理论简介

小白Johnny 2023年9月11日浏览：1656 收藏：20

一、随机振动介绍

随机振动，可以分为两个方面来了解，一个是“随机“，一个是”振动“。随机，指的是运动是不规律的，不能用一个函数来表示其随时间的变化。”振动“指的是物体在一个位置附近的往复运动。随机振动的常见例子有汽车在路面上的振动，风载荷下建筑的振动等。

对于一个没有规律的运动，如何去分析结构的受力状况呢？以汽车在路面上的运动为例，我们可以测得某一次汽车在路面上的运动信息，这里指的是汽车在垂直于路面方向上的上下颠簸状况(位移和加速度)，但是重新测一次就会发现，随着路面状况的不同，每次测得的数据都不一样，那么我们该拿哪一次数据作为我们分析的输入呢？

这就是所谓的随机性。对于随机性的运动，我们可以采用统计平均的方法来分析。对大量的随机信号分析表明，虽然单个的信号之间是不相关的，没有规律的，但是它们的分布却服从概率分布，称为正态分布。正态分布可以表示为：

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图1

式中，μ为信号的均值，σ为信号的标准差。F(x)是信号小于x的概率。

正态分布曲线如下图所示，它受到平均值和标准差的影响。

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图2

可以看到，均值的改变会使概率分布函数在水平方向移动，标准差的改变会使函数的凸凹程度发生变化。

一般来说，在进行随机振动分析时会假设随机信号的均值为零，即使不为零，也可以采用一个均值为零的随机信号与一个常值信号叠加的方式处理，在这里只分析均值为零的随机振动。

当均值为零时，决定随机信号分布函数的变量只有标准差σ。也就是说，σ一旦确定，对应于该随机信号的概率分布函数也就确定了。这里再次重申一下，随机信号是随机的，但是在统计意义上是满足正态分布的，我们不能通过单个信号或单次测量的信号集合来作为随机振动的输入，但是我们可以通过随机信号的平均功率来确定其概率分布函数。也就是说，随机振动分析并不是通过具体的输入得到一个具体的结果，而是通过一个概率分布的输入，得到一个概率分布的结果。在实际应用中就是，我们输入随机信号的功率谱密度，它表征着同样平均功率的随机信号输入，最后会得到一个应力分布，这个应力分布满足正态分布，也是概率分布的，而不是绝对的。

注：之所以随机响应与随机输入一样满足正态分布是因为正态分布具有线性叠加性，而且在进行动力学分析时未涉及非线性部分，所以随机响应与随机输入一样具有稳定的数值统计特征。

现在我们需要得到σ的值。首先看下σ的定义：

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图3

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图4 为方差，表示信号偏离平均值的程度。

其中μ为数学期望，代表着信号的平均值。

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图5

当均值μ为零时，有

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图6

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图7 即为信号的平均功率

我们得到了σ的表达式，但是由于x(t)随时间的变化是随机的，没有一个具体的函数来表示它，我们不能得到σ的值。所以需要进行傅里叶变换，将随机信号由时域转为频域表述，在这个过程中，它的平均功率不变，保证了σ不随着傅里叶变换而改变其大小。

即有：

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图8

其中， HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图9 是x(t)的傅里叶变换。这称之为帕斯瓦定理。

代入平均功率的表达式，有

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图10

其中， HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图11 表示了信号的平均功率（或能量）在频域上的分布，即单位频带的功率随频率变化的情况，故称之为信号的自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱。

为了满足傅里叶变换的条件，信号x(t)绝对值需要可积，即 HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图12 。而实际的随机信号是不满足的，所以需要将随机信号进行自相关处理，令

HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图13

称为随机函数x(t)的自相关函数。它反映了随机信号本身在不同时刻的相互关系。

对随机信号来说，当 HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图14 时，自相关函数即为时域上的平均功率；当 HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图15 非常小时， HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图16 和 HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图17 是相差很小的，当慢慢增大时， HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图18 和 HyperWorks仿真——随机振动理论简介的图19 逐渐不再相关，自相关函数快速衰减为零。