Moldex3D模流分析Flow参考资料之数学模型及其假设

2. 数学模型及其假设 (Mathematical Models and Assumptions)

数学模型及其假设(Mathematical Models and Assumptions) for Solid

令 u, v ,w 代表速度分量，x,y 是平面坐标轴而z是gapwise坐标轴。假设空孔中充填的是不可压缩流体，一般的射出充填可以很合理的假设为黏滞流。

射出成型常用的原理简图

在充填阶段，空气与塑料都被假设为不可压缩的而熔胶的流动行为则以一般牛顿流体来描述。因此3D充填行为可以数学形式描述如下：

其中 u 是速度向量，T 是温度，t 是时间，p是压力，σ是总应力张量，ρ是密度，η是黏度，k为热传导系数，Cp 是比热，是剪应变速率。要解决这个问题，高分子的特性必须被适当的描述。例如：与Arrhenius 温度有关的modified-Cross 模型被用来描述高分子熔流的黏度。

和

其中 η 是power-law指标，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪应变区域与黏度曲线的power-law区域间的转换区域之参数。体积分率函数f 是为追踪流动波前的进展而导入的函数，f = 0 代表是气相，f = 1代表高分子熔流相，当流动波前处于cells中时 0<f<1。f的增加除以时间可以以下的传输方程式来概括：

模具入口的流率与射出压力是有规定的。假设模具内壁没有任何滑移。体积分率函数的双曲线传输方程式只需要入口的边界条件。

数学模型及其假设(Mathematical Models and Assumptions) for Shell

理论上，射出成型之过程是一个移动波前有关的三维瞬时问题。非牛顿流体充填与热传导等问题都须于一并考虑。针对薄壳系统而言，一般可应用Hele-shaw 流体模式在非等温条件下表征其特性。在下图中，令u、v、w代表速度分量，x及y是平面上的坐标，而z是厚度方向(gapwise)坐标。当假设为不可压缩流体被充填入薄壳模穴中，此时忽略厚度方向的速度分量w。对一般的塑料射出而言，忽略惯性效应为非常合理之假设。另外，我们假设厚度方向的热对流可忽略，且流动方向的热传导也一并忽略()。

传统上射出成形程序的近似分析方法示意图

基本上，流动的方程式通常包括质量守恒、动量守恒及能量守恒。

质量守恒Conservation of Mass

如上假设所述，质量守恒定律可以表示为：

∇·(u) = 0

u在此处代表速度向量。通常大家希望能够对上式做点修正，即以微分或其导函数项来表示之：

此显示在直角坐标系统中沿不同方向的变化量。

动量守恒Conservation of Momentum

根据动量守恒定律，流体在某固定的体积下，其总动量只会因为经由表面进入流体的动量净流入量及重力这样的外力作用在流体上时才会增加。可以下式表示之：

此处是每单位体积的质量乘上加速度，此为惯性作用效应。当处于稳态且无惯性作用时，若进一步忽略重力的效应后，式子可被简化成：

Stokes equation这就是著名的史托克方程式(Stokes equation)。此方程式经常被应用到其他3D 模具充填分析软件，用来当作默认的方程式,  以此方程式为基础, 此动量方程式甚至可简化为：

当应用材料不可压缩性后，并导入厚度方向的平均速度分量，，我们可以进一步简化：

其中，且 h 是厚度的一半。

所以质量与动量守恒可以简化成与压力有关的质量-动量方程式