有限元网格剖分方法概述

在采用有限元法进行结构分析时，首先必须对结构进行离散，形成有限元网格，并给出与此网格相应的各种信息，如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等，是一项十分复杂、艰巨的工作。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。

有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法，列举如下：

1.映射法

映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。

这种方法的主要步骤是，首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域，每个子域为三角形或四边形，然后根据网格密度的需要，定义每个子域边界上的节点数，再根据这些信息，利用映射函数划分网格。

这种网格控制机理有以下几个缺点：

（1）它不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，尤其是对于3D区域。

（2）它是通过低维点来生成高维单元。例如，在2D问题中，先定义映射边界上的点数，然后形成平面单元。这对于单元的定位，尤其是对于远离映射边界的单元的定位，是十分困难的，使得对局部的控制能力下降。

（3）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。也就是说，改变某一映射块的网格密度，其它各映射块的网格都要做相应的调整。

其优点是：由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强，因此得到了较大的发展，并在一些商用软件如ANSYS 等得到应用。

2.拓扑分解法

拓扑分解法较其它方法发展较晚, 它首先是由Wordenwaber提出来的。该方法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成, 那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定, 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一般相当粗糙, 必须与其它方法相结合, 通过网格加密等过程, 才能生成合适的网格。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法, 用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。

单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想，有时甚至很差。

3.连接节点法

这类方法一般包括二步：区域内布点及其三角化。早期的方法通常是先在区域内布点, 然后再将它们联成三角形或四面体, 在三角化过程中,对所生成的单元形状难于控制。随着Delaunay三角化(简称为DT ) 方法的出现, 该类方法已成为目前三大最流行的全自动网格生成方法之一。DT法的基本原理：任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S，称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中，Vi满足下列条件：

Vi ={X：|X-Pi|(|X-Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形，称{Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation图或对偶的Voronoi图。连接相邻Voronoi多边形的内核点可构成三角形Tk，称集合{Tk}为Delaunay三角剖分。

DT法的最大优点是遵循“最小角最大”和“空球”准则。因此，在各种二维三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同时满足全局和局部最优。“最小角最大”准则是在不出现奇异性的情况下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。“空球”准则是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圆(四面体为外接球)内不包括其他结点。

DT 技术发展到现在, 已经出现了大量的不同算法。一般可以将其分为以下三大类：以Bower 和Green、Sibsos 为代表的Voronoi方法；以Watson 为代表的空外接圆法和以Lawson 为代表的对角线交换算法。一般来说,直接计算Voronoi 图的方法比较复杂, 所需内存大, 计算效率低。随着直接计算DT 方法的出现, 这类方法现已很少采用。Lawson 算法特别适用于二维Delaunay 三角化, 它不存在象Watson 算法中出现的退化现象, 对约束情况同样适用, 计算效率高。但在三维情况下, 对角线交换的推广变成了对角面交换, 而对角面交换将可能改变区域体积和外边界, 因此Lawson 算法不能直接推广到三维情况。Watson 算法概念简单, 易于编程实现,也能够实现约束三角化, 而且通过一些适当修改, 例如, 增加每一单元的相邻单元数据结构等, 可以将对三角形的搜索局限在新点所在单元的近邻之中, 从而大大提高了原算法效率, 因此该法的应用频度最广。但该法也有一些不足：即出现所谓退化现象或产生所谓Sliver 单元。

虽然Delaunay 三角化方法在2D 平面区域问题中取得了相当大的成功, 但在3D 情形, 基于最大2最小角判据的对角线交换规则不再成立, 而基于外接圆判据的Delaunay 三角化一般也不再能保证生成的网格质量。非常遗憾的是, 这是Delaunay 三角化的本质弱点。另外, 虽然Delaunay 三角化提供了一种较好的方法将空间点集三角化, 但Delaunay判据本身并不能指导怎样在空间布点, 因此, 必须寻找一种较好的布点方法, 既要点的分布满足密度控制的要求, 又要求三角化的结果形状尽可能好。目前基于Delaunay 三角化理论的3D 网格生成技术仍然是一活跃的研究课题, 许多学者正对此进行深入研究。

Delaunay三角化网格自动生成方法的事前(a-priori)网格控制能力不强。然而，Delaunay三角化网格自动生成方法却非常适合于事后(a-postoriori)网格局部加密，因为它的网格控制机理是面向整个分析域的，可以通过在原来网格的任意局部插入新的节点，然后做新的三角剖分，达到局部加密的目的。

4.几何分解法

在这种方法中节点与单元同步生成, 与拓扑分解法完全不同的是在实体分解过程中,考虑了所生成的单元形状及大小, 确保生成的单元质量尽量地好(在拓扑分解法中, 并不考虑生成的单元形状, 而且除边界顶点外, 一般不增加新的顶点)。常用的有两种：递归法和迭代法。

递归法：Tracy、左建政和Chae等先离散二维物体边界，然后沿离散边界向物体内挖掉一个、两个或三个三角形，重复此操作直到区域挖空为止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先从物体中挖掉边界层而不是单元，然后三角化边界层。上述为二维迭代法，Chae在此基础上发展了三维迭代几何分解法，主要分两步：采用二维迭代几何分解法生成表面三角形，然后采用三种算子挖切凸体为四面体。在挖切时，突出的特点在于采用新方法生成关键点。

关键点的生成分两步考虑：一是考虑新点对周围面和边的影响；二是通过调整比例因子来确定新点位置。Chae也将所提出的算法成功地应用于自适应网格生成中，但由于被剖分物体形状必须是单连通凸域，因此，不能实现全自动网格生成。

迭代法：Bykat采用该法。他首先将物体划分为凸体(手工或自动)，随后根据网格密度分布，在每个凸体边界上插入结点，然后将物体中间“最长轴”一分为二，在该轴上插入结点，继续对两部分做递归分割直到最后子域均为三角形为止。商业网格生成软件Triquamesh仍采用该法，只是分割线的选取与Bykat不同。

几何分解法的最大优点是在离散物体时考虑网格单元的形状和大小，因此，所生成的网格单元形状和分布均较好。最大缺点是自动化程度低，不利于复杂件网格生成。

5.栅格法

栅格法又分为栅格叠合法和四(八)叉树法。

栅格叠合法最早由Thacker，GonzaleZ和Putland提出，它是将栅格置放于物体之上。既可在栅格的规则点处布置节点，也可在栅格单元中随机布置结点，容易得到均匀网格，然后对栅格与物体求交，将在物体外的栅格去掉，物体内的栅格保留作为网格。在边界处的栅格需要变形，也就是要调整节点的位置以满足边界条件的要求，最终产生的网格内部单元完全一样，只是边界单元不同。栅格越密, 网格质量将越好。这种方法的不足是所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关, 网格边界单元质量差。这种方法在原理上相当简单,也易于扩充到三维, 对于相对规则的问题区域不失为一种简单有效的方法。

叉树法网格生成的过程是完全面向几何特征的，它通过一系列几何操作，同时从几何模型数据库中取得分析物体的几何信息，以及网格控制参数信息等，来完成网格划分。叉树法主要指四叉树和八叉树编码法。对于二维问题，一个方形区域用四叉树法分成4个四边形，每个四边形再继续用四叉树法细分，最终形成四边形网格。三维情况采用类似的八叉树法可得到六面体网格。概括起来说，该算法主要由以下两个步骤完成，1)首先找到一个能够完全包含分析域的正方形，然后利用四叉树性质离散该正方形至所需要的大小。同时，把这些离散信息保留在一个四叉树数据结构中，通过这个树状数据结构，把离散的子正方形联系起来。

2)从第一步产生的四叉树数据库中，取出满足终止条件的边界和内部子正方形来形成网格单元，并存储于网格数据库中。同时，使某些特殊点自动成为网格单元的节点，例如结构的支撑点、集中载荷的作用点等。大多数实体造型系统都采用树形数据结构进行几何及拓扑描述，在此基础之上，Yerry等提出了“修正的八叉树”法等有限元网格生成算法。基于“修正的八叉树”法的空间编码法在问题域内部容易生成高质量的单元，但是边界单元需要进一步处理，以免因质量太差而不适合有限元分析。空间编码法有两个本质属性即阶梯结构和空间可访问性可以实现与实体造型系统的集成，并且客易精整网格质量。

虽然有限四(八)叉树方法已经取得了相当大的成功, 它适用于任何复杂的二维和三维区域问题, 而且算法效率几乎与单元节点数呈线性增长, 其网格生成易于实现密度控制, 易于进行自适应分析, 也易于同实体造型系统相结合, 但其缺点也是明显的, 所生成网格与所选择的初始栅格及其取向有关, 网格边界单元质量差, 程序实现相当复杂, 所需内存较大, 不利于实现并行处理等。

文章来源：正脉科工CAE