随动硬化von Mises率无关弹塑性本构理论以及umat源代码
1 本构理论
1.1 率形式
本构方程为：
单轴拉伸的应力应变的硬化曲线如下：
根据单轴试验得到硬化部分的曲线：
当仅考虑随动硬化时，屈服面的中心在移动，而屈服面的大小不发生改变，即为常数。
屈服条件为：
增加了背应力来表示屈服面中心移动即随动硬化的效果。式中相对应力的表达式为：
流动法则为：
背应力的演化法则为：
式中：
上标k代表随动部分(kinematic)，表示以下随动硬化曲线的梯度：
1.2 Return mapping算法应力更新
在给定增量应变以及上一步的状态变量的情况下，首先计算试验状态下的量：
计算试验状态下的屈服函数值，判断是否发生屈服。当试验屈服函数值大于0时，说明需要进行塑性更正，反正则说明试验状态即为真实状态。以下对塑性更正环节进行详细说明。
当发生塑性流动时，需要求解以下非线性方程组：
可以将上述非线性方程组简化值一个非线性方程。首先将第一个关于应变的方程代入本构方程中，可得偏应力的表达式为：
减去方程组中的第二式可以得到相对应力的表达式为：
可以看出试验相对应力与真实相对应力之间满足关系式：
那么可以将相对应力表示为：
式中：
最后将该相对应力代入到方程组中最后一个一致性方程中可得：
该非线性方程的未知量为塑性乘子增量，可以用牛顿迭代法进行求解。另外可以利用公式：
代入替换可得背应力和相对应力的公式：
以及最后的非线性方程为：
使用牛顿迭代法求解的公式为：
式中雅克比为：
式中：
是各向同性硬化曲线的梯度。当仅考虑随动硬化时，该项为0。
1.3 一致性切线刚度模量
当没有发现塑性流动时，一致性切线刚度矩阵即为弹性矩阵；当发生塑性流动时，应力更新公式为：
求导可得：
式中：
最终可得一致性切线刚度矩阵表达式为：
计算该一致性切线刚度矩阵的代码如下：
!******************************************************************************* ! 计算一致性切线刚度矩阵 function plastic_kinematic_compute_consistent_modl(mu,kappa, n_pt,hard_data,alpha_n0,gamma_inc,q_n1_trial,n_trial) result(tant_modl) real(8),intent(in) :: mu,kappa integer,intent(in) :: n_pt real(8),intent(in) :: hard_data(n_pt,2) real(8),intent(in) :: alpha_n0 real(8),intent(in) :: gamma_inc real(8),intent(in) :: q_n1_trial,n_trial(6) real(8) :: tant_modl(6,6) ! 局部常数 ! 四阶单位偏张量 real(8),parameter :: I_dev(6,6) = reshape( [2.0/3.0, -1.0/3.0, -1.0/3.0, 0.0, 0.0, 0.0, & -1.0/3.0, 2.0/3.0, -1.0/3.0, 0.0, 0.0, 0.0, & -1.0/3.0, -1.0/3.0, 2.0/3.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.5, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.5], [6,6]) ! 四阶单位球张量 real(8),parameter :: I_vol(6,6) = reshape( [1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, & 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [6,6]) ! 局部变量 real(8) :: alpha_n1 real(8) :: Hk real(8) :: nn(6,6) real(8) :: term1,term2 integer :: i,j alpha_n1 = alpha_n0 + gamma_inc Hk = plastic_kinematic_compute_H(n_pt,hard_data,alpha_n1) nn = 0.0 do i =1,6 do j =1,6 nn(i,j) = n_trial(i) * n_trial(j) enddo enddo term1 = 2.0 * mu * (1.0 - gamma_inc * 3.0 * mu / q_n1_trial) term2 = 6.0 * mu * mu * (gamma_inc / q_n1_trial - 1.0 / (3.0 * mu + Hk)) tant_modl = 0.0 tant_modl = term1 * I_dev + term2 * nn + kappa * I_vol return end function plastic_kinematic_compute_consistent_modl
2 算法框图
Return mapping的算法如下：
3 umat源代码
umat采用Fortran90进行编写，其主程序的代码为：
include "plastic_kinematic_pack.f90" subroutine UMAT(stress,statev,ddsdde,sse,spd,scd, & rpl,ddsddt,drplde,drpldt, & stran,dstran,time,dtime,temp,dtemp,predef,dpred,cmname, & ndi,nshr,ntens,nstatv,props,nprops,coords,drot,pnewdt, & celent,dfgrd0,dfgrd1,noel,npt,layer,kspt,kstep,kinc) use plastic_kinematic_pack include 'aba_param.inc' character*80 cmname dimension stress(ntens),statev(nstatv),ddsdde(ntens,ntens), & ddsddt(ntens),drplde(ntens), & stran(ntens),dstran(ntens),time(2), & predef(1),dpred(1),props(nprops),coords(3), & drot(3,3),dfgrd0(3,3),dfgrd1(3,3) !******************************************************************************* ! 材料参数 integer :: n_pt ! 硬化曲线的数据点个数 real(8) :: hard_data(int((nprops-2)/2),2) ! 硬化曲线的数据点表格 real(8) :: E,nu real(8) :: mu,kappa real(8) :: sig_y0 ! 从props数组中读取材料参数 n_pt = int((nprops-3)/2) E = props(1) nu = props(2) sig_y0 = props(3) j=4 do i = 1, n_pt hard_data(i,1) = props(j) hard_data(i,2) = props(j+1) j = j + 2 enddo ! 更新应力，状态变量以及一致性切线刚度模量 mu = E / (1.0 + nu) / 2.0 kappa = E / (1.0 - 2.0*nu) / 3.0 call plastic_kinematic_umat(mu,kappa,sig_y0, n_pt,hard_data, stran,dstran, stress,statev,ddsdde) return end subroutine UMAT
相应的函数放在单独的一个f90文件的module中，用于调用，以实现主程序的整洁。
4 测试
4.1 一个单元加卸载测试
设置Abaqus自带线性随动硬化的本构为：
使用umat设置的材料参数为：
分别代表杨氏模量、泊松比，初始屈服应力，以及等效塑性应变与随动屈服应力的数据点。对于线性随动硬化模型，可以选取三个数据点，保证三点处于同一直线上，对最后一组数据点进行一个特殊处理，可以选取一个很大的塑性应变值，以保证计算过程中的等效塑性应变都落在这三个数据点点，由此插值得到便满足线性关系。
二者应力应变滞回曲线对比如图：
二者等效塑性应变演化曲线对比如图：
二者塑性耗散演化曲线对比如图：
4.2 带孔板拉伸测试
设置的材料参数为：
使用Abaqus计算的von Mises应力以及等效塑性应变的结果如下：
使用umat计算的von Mises应力以及等效塑性应变的结果如下：
可以看出，二者的结果是完全相同的。
该付费内容为：包含随动硬化von Mises率无关弹塑性本构的umat源代码以及文中测试的Abaqus的计算inp文件
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