基于PERA SIM 的曲轴静力学及模态分析

1.引言

曲轴是发动机中最重要的部件。它承受连杆传来的力，并将其转变为转矩通过曲轴输出并驱动发动机上其他附件工作。曲轴受到旋转质量的离心力、周期变化的气体惯性力和往复惯性力的共同作用，使曲轴承受弯曲扭转载荷的作用。因此要求曲轴有足够的强度和刚度，轴颈表面需耐磨、工作均匀、平衡性好。

目前，有限元在求解结构问题中被广泛应用。有限元法是求解偏微分方程的一种数值计算方法，主要在固体力学中应用，此外还在电磁场、热和声中有所应用；有限差分法和有限体积法等数值计算方法也可解决此类问题，主要在流体力学中应用。

PERA SIM Mechanical作为PERA SIM的核心产品之一，是功能强大、模块整合的机械仿真分析工具。PERA SIM Mechanical提供了全面的结构静力、动力、线性、非线性及热分析等功能，满足各行业的结构分析需求。此外，它还与PERA SIM Fluid、PERA SIM LEmag、PERA SIM AcousticBEM等共同组成了强大的多学科仿真体系

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2.结构有限元分析中的静力分析

2.1. 最小势能原理和变分法

从微分方程的角度看，要求求解变量在边界上处处严格满足边界条件，因此方程非常难解，即微分方程描述的是强形式，即要求求解域内的任意一点均满足微分方程的形式和边界条件。

若从能量的观点出发，结合最小势能原理，即真实结构的状态总是保持势能最低的，由此可以得到势能关于位移和应变的泛函，即积分形式，用变分法求解势能泛函极值也可得到和微分方程一样的形式。

从这点上看，二者是等价的，但我们只要求了势能最低，是一个“宏观笼统”的概念，理论上并未要求积分域内任意一点均满足微分方程的边界条件的形式，所以为弱形式。事实上，任意一个偏微分方程都可以等效转换为基于最小势能的泛函极值问题。

换一个通俗易懂的说法，我们假设满足边界条件的位移u1、u2、u3…为可能的解，其对应的势能为П1、П2、П3...；在所有可能的位移中，只有使势能П最小的那个位移u，才是真实的解。

寻找最小势能对应的位移的过程就需要引入变分法，即求泛函极值问题的方法；关于变分原理可以参考相应的书籍，本文不在此详细讨论；需要指出的是，变分法就是在无穷多的可能位移解中找到真实的那一个位移解的过程，标准就是只有真实位移解才能使势能最小。

虽然偏微分方程描述和泛函极值描述二者是等价的，但是基于变分法的泛函极值问题并未给我们指出如何得到解的具体形式。

好在我们只需要得一个近似的数值解。

既然我们无法得到位移关于坐标的具体函数形式，那我们可以假设位移为某些已知函数形式的线性组合，如u(x)=a0+a1x+a2x2，函数的可能空间变得小了很多；求解位移u(x)的过程就转换为求解待定系数a0、a1、a2的过程，即求解关于待定系数的线性代数方程组。

2.2. 基本理论

对于外形复杂的结构，我们将其离散，生成有限个小块，这些小块被称为“单元”，这就是“有限单元法”的由来。

上文中假定的位移模式通常采用多项式的形式，并且单元内任意一点的位移通过节点的位移表示为

变换矩阵N被称为“形函数”。尽管看起来有点奇怪，但是在数学上节点位移量相当于待定的系数：通过线性方程组求解这些待定系数，即求解了每个节点的位移。

结合单元的形函数和本构关系，可以得到“单元刚度”；将离散单元按总体节点编号规则组装起来，就可得到整体方程

其中K为整体刚度矩阵，F为载荷。

由于K是一个奇异阵，静力分析中需要添加足够的位移边界方程才能有唯一解，具体解出刚度矩阵奇异性的方法有：主对角线元素置“0”法、主对角线元素置“1”法和置大数法。

位移求解完毕后，应力应变就可以通过位移的结果快速得到了。

2.3. 分析流程

前面讲了有限元的大致原理和路线，再来整理一下有限元分析的流程：

选择分析单元类型，应根据具体的模型和关注点合理选择单元形状；确定形函数，一般有线性和二次；

设置材料参数以及截面等参数，对应广义的本构关系；

离散，划分单元，形成单元刚度矩阵，也可以直接建立有限元模型；

添加边界条件和载荷，得到整体静力学或动力学的完整方程；

求解方程，选择适当的算法和对应的求解控制选项参数，得到节点位移解；

后处理，得到节点或单元的应力、应变、位移、和约束反力等结果并通过云图或曲线形式可视化

3.有限元模型的建立

3.1 PERA SIM Mechanical模块

打开PERA SIM Space工作台，进入软件启动界面，模型类型支持结构、电磁、声学等三大物理场，选择声学频响分析，进入声学物理场分析场景，目前支持3维结构有限元计算：

3.2 曲轴模型导入

PERA SIM前处理器，提供了丰富的数据接口，支持IGES、STEP等几何模型数据的导入；以及ANSYS（cdb、inp、dat）、ABAQUS（inp）、NASTRAN（bdf）等软件网格模型数据的导入；同时，可以完成简单的草图绘制、几何模型处理、添加声场面几何等功能。

本文利用结构有限元模块，求解曲轴模型在受到压力和拉力作用下的变形情况，曲轴模型导入如下图所示：

为了得到载荷施加面，需要对模型进行布尔运算，操作如下。

平移dy=67.5mm

平移dz=17mm，xy平面切分几何体

平移dz=-34mm，xy平面切分几何体

平移dz=17mm，z向回到初始位置

中间圆柱，旋转-60度，xz平面切分

中间圆柱，旋转120度，xz平面切分

中间圆柱，旋转-60度，Rz回到初始位置

平移dy=-67.5mm，y向回到初始位置

3.3 网格模块

PERA SIM提供了丰富的网格划分算法，支持对1D、2D、3D模型的网格划分，可以通过全局网格控制、局部网格控制等功能实现几何模型的高质量划分。全局网格，尺寸3mm，最小0.5mm，最大15mm。

网格划分成功，分析网格模型如下图所示：

3.4 材料设置

曲轴材料为钢材料，在材料设置界面中定义钢材料属性。

3.5分析设置

进入“边界”模块，在曲轴的一端创建两个约束点，坐标为（0，-42.5，-62）和（0，-42.5，62），支撑节点与网格创建刚体连接。

另一端定义为固定约束，如图所示。

定义惯性旋转轴和转速240rad/s。如图所示。

曲轴上圆柱面定义压力工况，压力为132258.4N，均匀分布，如下图所示。

进入“任务”模块，完成。求解设置如下图所示：

4.计算结果分析

PERA SIM后处理可以查看曲轴静力学分析结果和模态分析结果，下表为与某主流软件结果对比展示：

从对比结果图中可以看出，两个软件计算出的最大位移出均出现再曲轴顶部，最大位移值分别为0.370mm和0.354mm，两者偏差为4.4%；固有频率对比偏差如下表所示。

从对比结果中可以看出，两个软件计算结果偏差不大，一般控制在5%左右，有一定的可替代性。

5.结论

本文基于安世亚太自主结构有限元软件PERA SIM Mechanical，计算曲轴的静力学分析和模态分析，实现了网格划分、边界条件设置、快速求解到结果后处理的完整分析流程。同时，在相同的边界和求解参数的条件下，与国外商用软件某主流软件计算结果对比，发现PERA SIM的变形和固有频率大小基本保持一致，能保证较高的计算精度。

作者：安世亚太结构工程师 白增程