力学笔记#1：什么是体积模量？流体和固体的体积模量公式有什么区别？

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引言：本文探讨了一下固体力学和流体力学中体积模量公式的区别。

体积模量用来表征可压缩性，表示系统在一定压强下，体积变化的难易程度，是固体微观热振动、非简谐振动的宏观表现。在有限元仿真中，材料的可压缩性是一个很重要的指标，例如金属和超弹性材料接近不可压，在仿真时要注意选取特定的单元类型。另外，对固体来说，体积模量也可用用来估计声速，而声速决定了显式动力学计算中的稳定时间步长极限。

体积模量的最原始定义在热力学中，定义为一个系统的压强变化量dp与其所引起的体积变化程度（或者体积应变）之间的比值：-△p/(△V/V)。

按照两个理想的热力学过程来划分，体积模量分为等温体积模量和绝热体积模量。我的理解是这是从理想化的角度出发定义体积模量，在大部分工程应用中也够用了，所以可以发现，无论是对体积模量定义还是测量，相关讨论也主要限定在等温和绝热这两个范畴内。

理想气体等温体积模量：首先对理想气体的物态方程取全微分，pV=nRT→Vdp+pdV=0（等温过程T=constant），变换即可得体积模量就是体积p。理想气体绝热体积模量（汪志诚P24）为：γp，其中γ为绝热系数。

作为力学笔记，本文只关注绝热体积模量，因为无论固体力学还是流体力学，大部分情况对体积模量的运用都是从绝热（等熵）过程出发定义的。

流体力学中的一般气体动力学便是一种理想绝热模型（鉴于这里的理想和上面理想气体的理想不是一个意思，所以后面叙述改为无粘流体）。当然，气体动力学既研究无粘气体的运动也研究粘性气体的运动，但一般的气体动力学课程或者大部分的工程运用，习惯于只考虑无粘气体的动力学，粘性气体动力学是高速边界层理论研究的内容。一般的气体动力学还忽略气体之间的热传导作用，将流动过程看成是绝热的。基于一般气体动力学的这种无粘绝热考虑，所以其绝热体积模量就可以直接套用依据理想气体建立起来的公式：γp。

不过似乎该公式更多不是用来计算体积模量，反而是用来计算绝热系数(?)。体积模量是不是可以通过其原始的公式-△p/(△V/V)方便测得，进而除以压强得到绝热系数？另外，由于一种运动场（速度或者位移）中的小扰动，并不改变场本身的绝热特性，熵仍然不变，所以可以推导出波动方程，进而导出小扰动传播的速度公式，也就是声速（声音就是小扰动）。汪志诚P25也提到绝热系数可以通过测量声速得到。这方面了解不多。

对于固体而言，各向同性固体的线弹性小变形情况就是绝热等熵的。再次查看体积模量的公式-△p/(△V/V)，其中△p表示固体变形前后球应力张量的变换量，实际上等于小变形加载后体内的球应力张量与未加载时的球应力张量之差，而未加载时，球应力张量为0，所以公式中的△p就是球应力张量（考虑了压强和球应力张量之间的负号）:

而△V/V就是固体的体应变：

它们之间的关系可以通过弹性小变形的本构关系（胡克定律）推导出：

其中的系数就是弹性固体的体积模量。

参考资料：

《热力学.统计物理》汪志诚，高等教育出版社，2013.

《弹性力学》吴家龙，高等教育出版社，2021.