力学笔记#2：什么是声速？固体波动方程和流体波动方程推导的区别，声速和体积模量的关系。

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一、声速

基于目前看过的有限书籍，我个人的理解是，声速是定义在介质上的部分场量发生绝热等熵扰动时，扰动在该场中的传播速度。由于声音刚好是这样一种扰动，并且在工程应用中也多用发声来产生扰动，所以就统一地定义为声速。

在固体中，就是定义在物质点上位移场、应力应变场、及它们的梯度、旋度等衍生量发生扰动时候扰动的传播速度；在流体中就是所观察的空间中的物质点上定义的速度、密度、压强等场量发生扰动时候的传播速度。其实没法定义到底是哪一类量会按照声速传播，比如说按照热力学中的广延量和强度量来划分吧，那强度量中压强扰动会按声速传播，温度这种强度量发生扰动就不会按照声速传播，它有自己的热传导方程；按照力学参量/几何参量等来划分吧，那力学参量中的部分量也不会这样。当然这是题外话了，也可能我还没学到。

关于绝热等熵，就是说扰动前后熵不变，比如声音传播经过空中某个点前后，该点的熵不变。激波的传播就会造成压强、速度等间断面，也不会是等熵的了。固体中绝热等熵过程典型的就是弹性小变形，弹性动力学就是研究声波在固体中的传播；声波在流体中的传播的研究是建立在无黏可压流模型基础上的，必须要考虑流体的可压缩性，因为如果将流体当成不可压缩物质，波速将无限大。另外，吴望一P527也说明了高速空气边界层外中的小扰动仍然可以采用无黏等熵假设。

声音的传播遵循波动方程，但是固体力学的波动方程和流体力学的波动方程只是在形式上相同，它们分别基于不同的控制方程（分别是拉梅方程和NS方程）建立的，且分别是拉格朗日描述和欧拉描述，当然这也分别是固体力学和流体力学惯用的描述方式。

二、 固体波动方程

固体波动方程的推导可以见吴家龙P233，我们在这里对关键推导 如果弹性介质的位移场是无旋的（▽×U=0），则：

图中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看见，固体中的弹性波有两种，膨胀波的波速与两个拉梅常数都有关，而畸变波的波速只和拉梅常数中的剪切模量G有关。

三、流体的波动方程

流体的波动方程在好几个著作中都有提到。比如汪志诚的《热力学与统计物理》（高教社第五版）P26，但只是推导了牛顿声速公式，并未将扰动过程看成等熵的。关于牛顿对声速的测量以及拉普拉斯的修正，吴望一P525有介绍。

另外，张海澜《理论声学》（高教社2007）P181也有相关推导，是先推导了压强的波动方程，再根据密度和速度与压强的关系推导相关波动方程。该书P179的式5.9式与5.10式：

我觉得其中的第一项应该用偏导符号，因为这两个方程是欧拉描述的，不能写成物质导的形式（我不知道上面加一点是不是可以等同物质导）。可参考吴望一P101。

个人觉得比较详尽、清楚的还是吴望一P521的推导。该推导基于无黏可压流体方程组，用方程的线性化表示小扰动的过程很详尽。

四、声速和体积模量之间的关系

在很多地方，我们都可以看到声速的公式为a=√(K/ρ)，其中K是体积模量。之前一直给我的印象是声速完全可以通过体积模量计算出来，但从固体的声速公式可以看出，固体中声速与体积模量没有单一的关系。我们在

数峰青，公众号：数峰青 力学笔记#1：什么是体积模量？流体和固体的体积模量公式有什么区别？

这篇博文中给出了固体的体积模量公式，它也可以用拉梅常数表示为：

将其与本文上面给出的固体声速公式对比可以发现，固体声速并不等于体积模量除以密度的算术平方根。当剪切模量为0的时候，就可以了，而且这也是流体声速的情况。恰好流体的剪切模量为零，所以从这个角度看，是不是流体和固体声速公式其实是一样的（^_^了解不多，瞎扯的啊），只是流体的剪切模量为零，不能在任何剪切力下保持平衡（这也是流体和固体的区别）。

参考资料：

吴家龙《弹性力学》第四版，高等教育出版社。

吴望一《流体力学》第二版，北京大学出版社。

张海澜《理论声学》，高等教育出版社，2007。

黄克智《张量分析》第二版，清华大学出版社。

汪志诚《热力学.统计物理》，高等教育出版社，2013。