力学笔记#3：物质的可压缩性和流动的可压缩性之间的区别是什么？

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-----可压缩性

可压缩性是由体积模量决定的，体积模量的倒数就是可压缩系数。在讨论可压缩性的时候，利用lamda+2G/3或者E/（3*（1-2v）来讨论会更方便一些，尤其是后者。根据E/（3*（1-2v），在现实中也发现，泊松比接近0.5的时候，体积模量接近无穷大，表示物质接近不可压，泊松比接近0的时候，体积模量很小，在杨氏模量一定时物质非常可压。对于空气来说，其泊松比接近0（网上找的，咱也不知道怎么测的），其体积模量就接近一个很小的数，这就是为啥空气好压缩的原因（吴望一P67）。对于液体来说，其泊松比接近0.5，其体积模量是比较大的，所以液体接近不可压缩性。对于固体来说，只有高弹性体的泊松比接近0.5，所以高弹性体接近不可压。

其他的部分金属泊松比也接近0.5，其他的材料都小于0.5，具有一定的可压性。金属的塑性变形阶段是接近不可压的，只有弹性变形是可压的，也即塑性变形与球应力无关（米海珍P5）。

-----可压缩性和体积自锁

可压缩性在物质变形有限元计算中具有很重要的地位，与体积自锁很相关。当物质泊松比接近0.5时候，尽管杨氏模量也很大，其体积模量还是会接近很大的数目。这时候就要求单元在承受静水压力时的变形小到可以忽略，或者说是计算不出其变形（庄茁P68）。而一般的单元都是以节点位移和形函数描述的，这种位移描述的单元是计算不出球应力的，所以需要单独对压应力设置一个自由度，这种就叫杂交单元。如果强行用一般的位移描述单元，那么就会经历体积自锁（庄茁P223、P252）。

-----可压缩物质和可压缩流动

任何物质都是可压的，只是对于低速运动的物质，其质量守恒方程（连续性方程）可以得到一定的简化。由前可知，可压缩性由体积模量的倒数表示。体积模量公式可见博文：

数峰青，公众号：数峰青 力学笔记#1：什么是体积模量？流体和固体的体积模量公式有什么区别？

其倒数为-(△V/V)/△p。另一方面，运动当前构型的相对体积变化率(△V/V)可以由速度散度表示（黄克智P266，吴望一P86）：div(v)。所以在流体运动中，速度散度完全可以表征可压缩性。另外，从流体连续性方程（吴望一P107式3.1.3）

也可以推导出，流体密度物质导（物质点在流动过程中的密度变化率）：dρ/dt(ρ为密度)等于-div(v)，也可以表征流体可压缩性。根据下式（吴望一P101第二式）：

dρ/dt可以表示为（吴望一P501第一式，黄克智P246式6.4.13）：

根据该式，可以看出当速度很小的时候，该式第二项（对流项）接近一个很小的数，而第一项表示定常性（吴望一P109），定常流动下第一项为0，所以直接导致密度对时间的物质导dρ/dt小到可以忽略。通过这种忽略对方程的简化进而解出来的解是比较符合实际观察的，也满足工程需要（早些时候的机翼升力理论的基础），所以这种对方程的简化（速度散度为0）就沿袭下来了，这类流动叫做不可压流动（吴望一P221底部）。

但是当速度很大的时候，该项就具有很大的值，这样密度对时间的物质导数很大，流体在这种情况下的可压性就不能忽略了，这种流动也叫做可压流动。总之，实际上可压流动才是正常存在的，不可压流动只是对方程的一种理想化（这种理想化是满足工程应用的）。空气虽然是一种比较可压的物质，但是在低速的情况下，其流动是一种不可压流动，也就是速度还没大到产生让其体积或密度沿着流线产生明显变化的压力。

总结：流动的可压不可压是表示在建立方程的时候要不要忽略体积的变化，或者要不要将流体当成是可压缩性无穷大的物质。

参考资料：

吴望一《流体力学》第二版，北京大学出版社。

黄克智《张量分析》第二版，清华大学出版社。

米海珍《塑性力学》，清华大学出版社，2014。