失效FEM模拟常见问题解答 I期

Main Tasks

 列举常见的10个问题，给出原因及解答

 2个科普： 断裂与损伤的区别；什么是本构模型

 有限元之我见，小谈其数学基础

   Note：该期针对菜鸟

Task 1 常见的10个问题，给出原因及解答

1. Qusetion:

XFEM模拟裂缝扩展中，出现这种情况，n个增量步之后，出现不收敛导致计算结束？

Cause:1.裂纹属于强不连续，非线性很强；尤其是n larger than 某个N时，几何非线性增大很多；

      2.网格方面，裂尖局部区域网格畸变，所以xfem出现以前，remesh techs一度盛行; 

      3.非线性材料，或者接触等额外非线性引起的；

      4.边界条件设置不合理，譬如一些情况下要求边界对称，避免某个自由度方向刚体位移，etc; 

      5.增量步大小设置不合理，譬如，过大（发散），过小（严重增加计算成本）；

      6.预制裂缝与单元边界挨的太近，这个体现在具体的数值实现细节上；

      7.求解器设置不合理，比如该用增量法的，用成mN-R; 

      8.其他（时间有限，不可能面面俱到）

Answer：分别针对，1.无；2.局部细化；3.分开检验；4.约束多余的自由度，避免重约束，（边界对称），避免其他地方应力集中等等；5.使其合理；6.岔开一定距离；7.合理设置；8.无

2. Qusetion:

XFEM模拟裂缝扩展中，出现这种情况，模拟结果与实验差距较大？

Cause: 1.实验与仿真模型，重要的方面差别较大，譬如，边界条件（主要），材料模型（本构，主要），断裂准则等等；         2.断裂参数不准确，一般通过标准实验获得，也可通过Inverse 法；

        3.断裂参数如何应用，譬如，有些参数适用于细观尺度，用来做宏观结构分析肯定是不合适的；

        4.模型如何简化，关键是根据研究对象，抓住主要因素或变量，忽略次要的；

        5.有些问题，比如宏观多裂纹模拟，细观尺度的多裂纹，孔洞，位错，蠕变，疲劳裂纹，可能需要特定的材料模型，特定的处理，特定的方法（e.g. XFEM需要更改加强函数，积分算法）等等；

        6.常规的XFEM尖端引入了粘性区，如果分析脆性极大的材料（裂尖屈服很小），自然不合适；

        7.误差分析，有限元是一种近似，有些方法比较依赖网格尺寸（敏感性）||u′-u||≤C*h (一阶单元)；

        8.其他

Answer：分别针对，1.仔细并合理对待；2.按标准（美）设计实验或做模拟；3.无；4.具体问题，具体分析；5.使其合理；6.develop xfem算法；7.网格实验；8.无

3. Qusetion:

XFEM模拟裂缝扩展中，出现这种情况，如何测得裂纹长度？

Cause:可能论文需要这项数据来表征断裂程度或者进一步算比如K吧，但我从很少见过论文上讨论了这个。一般都是用J 积分或交互积分来应力强度因子的。

Answer：(in my view）, 首先裂纹模拟的路径不是很准，其依赖于网格划分方法和尺寸（尺度效应），其次扩展路径不是很光滑。我的方法是，在后处理中做个path，拟合出一条光滑的直线或（曲）线，测其长度吧。

（谁有这方面相关的论文可以发给我，学习下）

4. Qusetion:

CZM模拟裂缝扩展或者分层中，出现这种情况，究竟该如何真正理解‘界面刚度’，及它与‘材料刚度’的区别？

Cause:一些人经常问这样的问题，虽然一些论坛上也有解释，但或多或少，交待不明确或者理解错误。因此，有必要在此给予进一步阐释。

Answer：材料刚度E，描述材料变形行为，即应力应变的关系。界面刚度K，在CZM中描述的是材料分离行为，即T-S关系。虽然二者可以由K=E/t转化，但要注意二者的本质区别。界面刚度参数设置问题，这是一个比较有争议的。K不能过大，也不能过小。过大的话，很可能会引起数值问题（矩阵）；过小的话，会引起变形与周围网格的变形不协调，不一致。K主要受网格尺寸（越小，相当于约束增多，造成偏‘软’），材料内在性质，(界面强度)的影响。

K到底该如何确定（转自Simwe）？

不同的研究者有不同的看法，Cam认为界面刚度为1e6；还有作者认为界面刚度为1e4到1e7倍的界面强度每单位长度；也有研究者认为界面刚度K=aE/t，其中a为参数，建议取50（此时界面刚度对整体刚度的影响小于2%）。 在定义cohesive section时，厚度都定为1。个人比较倾向第三个。

可能由于czm没有明确的物理意义，才会导致这些争议。有关CZM的网格的尺寸效应，K的选择，多场耦合等目前都有很多的研究，建议多阅读相关文献。此外，Abaqus使用0厚度的单元是存在一些问题的，设0厚度是有原因的，看我以前的总结。

5. Qusetion:

有限元软件的应用中，出现这种情况，warning总体刚度矩阵出现小的主元和负元(zero or negative pivots)，也即总体刚度矩的出现奇异？

Cause:

出现奇异的原因多种多样，可能的原因有:

在共享一个节点的所有单元中材料属性如弹性模量为零;

一个或多个结构节点没有连接到任何单元上;

结构式的一个或多个部分没有与其它部分相接;

边界条件没有设定或不够充分;

不适当的连接可能产生寄生模式;

在一个连接点设置了太多的分离;

有很大的刚度奇异;

部分结构发生屈服;

在非线性分析中，支撑或者连接已达到零刚度，以至于部分或所有结构不能被充分支撑

Note:以上这些原因，都可能导致整体刚度矩阵中出现一定数量的较整体差别很大的元素；可导致出现0主元，负主元等，即奇异现象。而奇异矩阵是不能（欠妥）进行求逆操作的。

Answer：

按可能的原因一一排除即可。

偏微分方程（PDEs）

偏微分方程的求解是科学与工程中常见的一类问题。许多问题的控制方程都是偏微分方程。偏微分方程可分为椭圆型：弹性力学问题等， 抛物线型： 热传导，渗流问题等，双曲线型：波动方程。

偏微分方程还可以分为边界值问题，初始值-边界值问题。

求解偏微分方程主要有解析法，半解析法，数值法。解析法的解有叫封闭解。由于工程问题，大都是复杂的求解域与边界，往往很难得到解析法，于是数值法成为主要工具，另一个主要因素是计算机硬件的快速发展，为大规模计算提供便利。

有限差分法，有限元法，有限体积法，边界元法，无网格法以及它们间的耦合，成为主要的求解PDEs的工具。这些方法各有自己的优点与缺点，譬如有限体积法都用于流体力学，有限差分法适用于边界简单的问题，边界元要求不能有体力，一些无网格方法在引入Dirichlet边界是需要特殊处理，比如罚函数法，拉格朗日乘子法等等。当然，他们之间的比较还有很多很多，时间有限这里紧list几个方面。

这些数值方法的核心是利用了离散的思想，将复杂的求解域离散为简单的subdomains,然后构造形函数去逼近变量的真实解。另外，可利用变分法能导出弱表达式，这些表达式就是控制方程。（边界元是基于强形式的）数值方法无不体现了逼近的思想，比如有限元中网格越小，解越精确。其次如何保证解的稳定性，收敛性，一致性，准确性，是研究这些算法不得不考虑的方面。

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