失效FEM模拟常见问题解答 II期

7. Qusetion:

数值方法，基于有限元的，常用的模拟断裂有哪些方法及原理？

Answer：

     工程上模拟断裂，针对动态断裂来讲，基于有限元的方法最多。可以分为 自适应remeshing(最古老的方法)， 单元删除法， 扩展有限元法，interelement法（cohesive 单元或接触行为），其他（VCCT）。Remeshing就是不断调整裂纹尖端网格密度,只有通过增加局部自由度，才能表征裂尖行为。

单元删除法，原理是通过设定一定的失效准则，当单元达到准则时单元删除。单元删除法劣势是不太准确，很依赖网格尺寸，模拟效果不好，除非特别对待。

    扩展有限元，是目前世界上最流行的方法来处理动态断裂，并且效果理想。对于裂纹来说，裂纹萌生模拟起来困难的，所以xfem中裂尖前端使用粘聚区模型来表征其萌生，这样其萌生和起裂方向就和实验比较吻合。这也是 xfem很大的创新之一。

    其次使用水平集方法，来表征裂纹扩展路径和裂尖。扩展有限元目前发展已经比较完善，很多问题得到解决，比如高阶单元的使用，积分法则的优化，多场耦合，水裂压力，模拟moving interface 等等很多很多。

   扩展有限元还可以处理 孔洞 夹杂 界面 高应变梯度等不连续现象，而这些都必须借助于解析解，来获得这些不连续问题的kinematics表征。

    Interelement,顾名思义，就是在常规单元间加入特殊的单元，比如cohesive单元来表征裂纹萌生 扩展。有些类似单元删除法。但没有严格的物理意义。

    Vcct就是虚拟裂纹闭合法，通过假设裂纹闭合所需的能量来解决这类问题。

    其他的还有crystal fem。

8. Qusetion:

数学角度看，究竟什么是断裂，什么是奇异性？

Answer:

     众所周知，许多工程问题，都由偏微分方程（数理方程）控制。比如线弹性力学，热传导，流体渗流现象等。

     如果我们解决了这类方程，那么这些方程主导的问题迎刃而解。解偏微分方程可用解析法，比如特征线法解决wave问题。但这样的情况由于一些因素，比如求解域的几何复杂性，算符方程的非正则性，非线性等等，人们不得不借助于计算机。于是，世界上各种算法如雨后春笋般应运而生！

     这些数值方法的核心，是先将偏微分方程通过变分法或加权余量法，转化为等效弱积分形式。对于椭圆型问题，其弱形式是KU=F，这也是有限元的理论基础。

    此时，问题还是连续性问题，因为世界中许多对象都是具有无限自由度的，这样求解起来依旧很不切实际。于是，人们想到用一些分片的函数来表征局部特征（列紧性），也就是离散的思想，可以说当年他们参考了结构力学，在波音项目的支持下，1956年第一篇可以说真正意义上的有限元论文应运而生。使用的是三角形单元！

数学上看，断裂就是这些方程的求解域内含有不连续内部特征。比如裂尖周围，解的梯度很大，比如尖角处（应力集中现象），解的梯度很大（奇异性）。为了表征这些局部特征，这些局部区域必须增加unkowns来使解更接近真实解。自适应的原理就是为了这个！还有网格畸变，会导致解的精度下降很多，使用独立点来离散求解域的无网格法变流行起来！