钢筋混凝土_梁的弯矩曲率

根据材料力学的知识，一根承受竖向荷载的梁，它的弯曲曲率的数学意义等于竖向位移的二阶微分，而曲率的物理意义是弯曲形状的半径的倒数。同样，弯矩除以EI，就等于曲率。对于我们在入门的材料力学里遇到的问题来说，EI 一般都是常数，所以弯矩和曲率之间是一条简单的直线。而对于钢筋混凝土梁，EI 就不再是常数了，随着混凝土的逐渐开裂、钢筋的受拉屈服，钢筋混凝土梁的 EI 也在逐渐变化。所以，钢筋混凝土梁的弯矩-曲率图不再是一条直线。最简化的分析，我们取三个关键点，将弯矩-曲率图看作是三条线段组成的折线。这三个关键点分别是：混凝土开裂、钢筋受拉屈服、混凝土受压破坏。

对于钢筋混凝土梁截面的受弯分析，有两条基本原则。第一条是「几何协调」，也就是「平截面假定」。截面在受弯变形之后依然保持为平截面，换言之，应变与离中性轴的距离成正比，受拉区和受压区的应变图是两个相似直角三角形。

第二条准则是「静力平衡」，也就是受压区的总压力 C 要等于受拉区的总拉力 T，同时，拉力或者压力乘以内力臂 jd 要与外荷载的弯矩平衡。

第一条准则处理的是纯几何问题，或者可以说是应变问题；第二条准则应对的则是纯力学问题，或者可以说是应力问题。这两者之间的关联也就是我们下面要关注的应力-应变关系。

在钢筋混凝土截面受力分析中，我们采用的钢筋应力应变是这样的，先是一条斜线，斜线的斜率为钢筋的弹性模量，斜线到达屈服点之后，就变为一条水平直线。而混凝土的应力-应变关系就没有这么简单了，事实上它是一条曲线。在混凝土的压应变达到极限压应变的一半之前，我们可以近似的认为是一条斜线，斜率为混凝土的弹性模量。

对于钢筋，实际的应力应变关系是左图这样的，但实际的混凝土构件中，由于不可能出现太大的变形，所以钢筋不会出现很大的应变，因此，我们近似采用右边的简化关系。也就是忽略左图中的曲线 cde，代之以直线 bc 的继续延伸。

不同强度的混凝土的应力应变关系是左图这样的，为了应用于设计的工程分析和设计，我们需要用数学来描述这些曲线。如何把应力应变关系用简洁的数学式子表达出来，这就是一个问题。基于实际的实验结果，有很多不同的数学描述。比如右边的 Hognestad 和 Todeschini。Todeschini 相对更为常用，因为它不是分段函数，而是用一个统一的式子来表达应力应变关系，处理起来更为方便。

这么多的数学模型，规范到底采用的是哪种呢？上面的是 ACI318 的规范，简单说，随便你，只要你认为这种数学模型跟实际实验结果比较吻合。下面的是 GB50010 的规定，给出了具体的数学表达式，采用的是改进的 Rusch 模型，分段函数，第一段是曲线，第二段是水平直线。

这里也可以体现出一点小差异，很多时候，ACI318 给的是要求和建议，而 GB 规范给的是具体的规定。比如这个应力应变关系，ACI 给的是可以采用任何数学模型，只要跟实验结果吻合较好即可，这样，新出现的研究结果可以随时应用到实际工程中。而 GB 给的是直接的 Rusch 模型，就这样定死了，新的研究结果要想用到实际工程中，只能能下一版规范的修订了。

我们比较一下 Todeschini 和 GB 规范采用的改进版 Rusch。我们用 MathCAD 绘制这两个应力应变关系的图形。ACI 的抗压强度采用的是圆柱体试件，GB 规范采用的是立方体试件，混凝土强度等级 C60 以下，这两者之间的比值约等于0.79。所以 C30 混凝土大致相当于 3440 psi 的混凝土。

上图就是两者的对比，红色的是Todeschini，蓝色的是改进的 Rusch。因为ACI 用的是标准值，GB 的则是设计值，对于梁受弯来说，ACI 的标准值要再折减0.9，所以我们可以对比 0.9倍的Todeshini 和 GB 的曲线。总体来看，GB 规范还是更为保守。

下面我们举一个算例，采用的初始参数基本相同。最大的区别可能是 ACI 的保护层厚度更大、钢筋强度更高。

直到开裂之前，钢筋混凝土梁截面都处在线性阶段，符合基本材料力学的理论。截面由钢筋和混凝土两种材料构成，为了处理更方便，我们把钢筋转化成等效的混凝土截面。同样的处理还出现在钢-混凝土组合梁的分析中，只不过跟这里相反，这里是把钢筋变成混凝土，组合梁是把混凝土变成钢材。

通过等效变换，把钢筋转换为等效的混凝土截面之后，截面由两种材料变成了同一种材料，截面形状变为了左上角这个形状。我们可以得出这个几何形状的惯性矩和中性轴。应变线性分布，中性轴处为零；应力与应变呈线性关系，所以也是线性分布。开裂的临界点就是混凝土的拉应力达到开裂拉应力。其实这就是个简单的材料力学中均质杆件的弯矩应力分析。

具体的计算如上所示。为了方便比较，我们把最终的开裂弯矩和开裂曲率转换为公制单位。

而 GB 采用的混凝土受拉应力应变关系略有不同，上面 ACI 的受拉是直接线性关系，而这里的受拉应力应变是双折线，包含了一条水平曲线。也就是说，应变仍然是直线，受拉区的应力则变成了斜线加直线。这时候的拉力由三部分组成，三角形混凝土拉应力区的总拉力T1、矩形混凝土拉应力区的总拉力T2、钢筋的拉力T3。钢筋的应变与钢筋所在位置的混凝土的应变相同，也就是钢筋的总拉力 T3 等于应变乘以钢筋的弹性模量再乘以钢筋面积。

因为拉应力区不是线性分布，所以不能再从几何形状出发得出中性轴位置了。我们先假定一个受压区高度，然后求算受压区总压力 C 和受拉区总拉力 T，继而逐渐调整受压区高度的大小，使得压力和拉力相等。

对比一下两种方法的开裂弯矩和曲率的结果，考虑到 ACI 是标准值，所以折减之后的设计值略微大于 GB 的计算结果，GB 要更保守一些。造成差异的主要原因我们之前也说过，主要是因为采用了不同的受拉区应力分布。