说说湍流模型中的Detached Eddy Simulation （本人在知乎专栏的科普文章）

作者：印子斐
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来源：知乎
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闲来无事，想起平日里知乎私信许多人问的问题，以及当年自己入门湍流模型时的种种不解与曲折，虽然至今仍然未能了解其中精髓，就当写写学习日记，以帮助更多向我以前一样懵懂的人入个门吧。不一定完全准确，希望大家一起讨论。

首先，什么是DES？

在我还是本科的时候，说起湍流模拟，文献一般会提三种常用的方法，雷诺时均模型（RANS），大涡模拟（LES），以及直接数值模拟（DNS）。雷诺时均模型相当于对所有的湍流尺度对时均流场的影响进行建模，然后带入RANS方程求解时均流场。求解得到的结果即为系综平均（ensemble average）后的速度，压强，密度等等。大涡模拟，就相当于对Navier-Stokes方程（以下简称NS方程）加上一个低通滤波器，所有的小尺度现象，都被建模，而大于一定尺度的现象，都直接通过求解这个滤波后的NS方程得到。这个尺度，一般是和当地网格大小有关，但是很难有一个显示的表达式，所以大部分的LES都是隐式滤波的，一般这个尺度称为cut-off length。而直接数值模拟，顾名思义，就是暴力膜（大误），可以看作没有湍流的建模过程，直接对所有的尺度进行求解。RANS，尤其是一般大小算例的定常求解，在计算机高度发展的今日，大部分人都可以用自己的个人电脑进行模拟。LES（这里指wall resolved LES），由于对近壁面网格解析度有着非常高的要求，哪怕是很简单的科研大小的玩具算例，也需要集群或者超算的介入才可以完成。直接数值模拟更不用说了，在我的印象中，似乎2080年左右才有可能进行航空领域的整机计算（数据出处暂未找到）。

NASA前几年有一个CFD2030的报告，对于RANS/LES混合模型有着极高的期望，对复杂流场，混合模型既能表现出接近于LES的计算精确度，又能极大地减少对网格数量的要求，从而达到既要马儿少吃草，又让马儿能够跑的要求。DES，作为混合模型的一种，只需要在RANS模型上做出少量的修改，就能在一般情况下大幅度提升非定常模拟的精度，至少在目前是被看作是未来的一种发展方向。还有种方向就是直接做WMLES（wall modeled LES）。

第一个DES模型，在1997年有Spalart提出（Spalart, P. R., et al. "Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach." Advances in DNS/LES 1 (1997): 4-8.），是对Spalart-Allmaras模型的方程中的耗散项进行修改，一般直接称呼为DES97，

此处的d是壁面距离，是常数，=是网格尺度，在接近壁面的时候，，DES模型回归到原来的Spalart-Allmaras RANS模型，在远离壁面的时候，DES模型中的被替换为，增大了耗散，也就是减小了湍流粘度（eddy viscosity,）。于是大于cut-off尺度的运动会被解析出来。需要注意的是，在RANS区域是系综平均，在LES区域是滤波，这里存在着一个物理上的一致性问题。但是由于RANS和LES方程在数学上的高度统一，在数学实现上并没有什么问题。（这里是个很有趣的话题）。总之你要是相信实践出真知的话，这个模型很好用，也被广泛运用了。

当然，刚出来的模型肯定不是十全十美的，大家发现了几个问题，我们一个一个来看大牛们是怎么解决的。

首先，是Grid induced separation，这是什么意思呢，本来大家用DES模型是为了获得比RANS更好的结果，但是在计算某些光滑曲面流动分离的时候，由于分离位置对总的雷诺应力（建模的与解析的总和）比较敏感，由于DES从RANS切换到LES的时候，的切换不一定是光滑的，而且在网格的部分区域，网格不够密以至于并不适合切换到LES。导致总的雷诺应力偏低，分离更早地发生了。这时候DES的表现并不是比RANS好，比LES更差了，而是比RANS更差，这是万万不被希望出现的表现。所以Spalart等人提出了进一步的修改，也就是Delayed-Detached Eddy Simulation，以下简称DDES（Spalart, Philippe R., et al. "A new version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities." Theoretical and computational fluid dynamics 20.3 (2006): 181-195.）。原理很简单，加了一个shielding function，形式如下：

就是，而就是。此处就是那个shielding function，近壁面处是0，远离壁面处为1。其实就是一个无量纲化的壁面距离的函数，有关。在比较靠近壁面的地方，无论和哪个小，始终都用。当等于1的时候，才回到DES97模型，这个修改避免了RANS到LES的切换太过靠近壁面，也防止了模型预测出“过早的”分离。

之后，又有人觉得，欸，DDES模型能不能当作WMLES来用？因为壁面的RANS直接可以作为wall model啊，远离壁面又和LES很像。于是他们在充分发展槽道流里试验了一下，发现不行。他们发现Log-Layer竟然分成了不能吻合的两段，这个问题就被称为Log-Layer Mismatch（LLM）。在RANS切换到LES的时候，由于建模的雷诺应力不是平滑缓慢过渡的，导致总的雷诺应力在切换处偏低，于是Log-Layer的斜率就出现问题了。这就引出了Improved Delayed Detached Eddy Simulation，以下简称IDDES，（Shur, Mikhail L., et al. "A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities." International Journal of Heat and Fluid Flow29.6 (2008): 1638-1649.）。要修正这个问题其实很简单，之间我提到，改成就好了（不是100%的修正，但是已经可以接受了），而且后者还更符合LES的常用做法。当然，这篇文章可没那么简单，他们还为了IDDES能在DDES和WMLES之间顺利切换，做了很多的修改。就我个人而言，虽然这个模型的表现很不错，广泛受到工业界认可，目前也正在逐渐成为“标准”的DES模型，但是由于添加的“人工”参数和公式太多了，过多地依靠经验调整出来了，不算是一个特别完美的模型。

在2015年，Shur等人又提出了一个对DES模型的改进（Shur, Mikhail L., et al. "An enhanced version of DES with rapid transition from RANS to LES in separated flows." Flow, Turbulence and Combustion 95.4 (2015): 709-737.）。我们先来理解一下为什么他们提出这么一个改进，首先，DES是可以从RANS切换到LES，切换形式就是从RANS的eddy viscosity切换成LES的eddy viscosity，也就是建模的部分占总雷诺应力的部分变少了，总雷诺应力包括建模的与解析的两部分，于是解析的部分需要增加来保持总量的不变，但是解析的部分是不可能突然增加的，在方程求解中解析的雷诺应力必然是连续，缓慢地变化的。所以，以本文最上方配图为例，在RANS切换到LES的一瞬间，其实总的雷诺应力是不足的，是依靠数值误差来促进这个切换过程，这也解释了为什么DES算后台阶流动的预测结果是对网格非常敏感的。这篇文章，就是相当于修改了亚格子尺度的定义，在刚从RANS切换到LES的时候，数值误差引起RANS到LES的转变在可视化中很像K-H不稳定性，于是他们就定义了一个开关，在流场比较像平行剪切流的时候就进一步减小涡粘系数来促进RANS到well resolved LES的转换。我和我老板讨论过这个paper，他觉得意义不大，反而模型更复杂了。在我的实践中，一般遇到这种问题大多是通过把入口条件从RANS类改成LES类，也就是把DES当成WMLES来用，基本上能取得比较满意的结果。

当然，DDES和IDDES并不是只能建立在Spalart-Allmaras模型上，也可以用在 和上。

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