首先对上一篇CAE系列博文的基本观点做个小结。
许多学科都在用数学方程表达其领域内部各个因素量之间的关系，这种关系最简单的是代数方程。由于关系的复杂性，会存在由多个代数方程所组成的代数方程组。使用线性代数的方法，很容易求解代数方程组，从而得到我们所需要的量。
但是客观世界的很多关系却表现为微分方程。微分方程分为常微分方程和偏微分方程，本篇先说明常微分方程。
对于机械系的学生而言，材料力学中用积分法求解弯曲变形的整个过程非常具有启发性，它对于理解CAE中的有限元法具有重要的意义，这里以它为例，让我们一起来品味常微分方程的工程背景以及其解法。
如图所示的悬臂梁，在自由端施加一个竖直向下的集中力，则梁会变弯曲，弯曲后的曲线在图中用红色曲线表示，该曲线称为挠曲线。现在的问题是，如何根据受到的力来求出挠曲线的方程呢？
这样的问题乍看上去无从下手。如果从整体上考虑问题，很难得到答案。我们知道，梁整体之所以发生弯曲，是因为受到了外力。每一微段之所以发生变形，也是因为该微段受到了力的作用。所以，我们可以从任一微段出发，得到该微段的受力与其变形的关系，然后看看是否可以通过积分得到整根梁的挠曲线方程。
任取一个dx程度的微段，在该段的左右两边施加弯矩而发生变形如下图的右部
取ab这根短纤维，变形后为a’b’,对该纤维使用正应变的定义，有
根据胡克定律，应变与应力之间有关系。而应力与内力的关系也已经由弯曲应力的关系式给出，所以有
基于上述两种应变的计算方法，消去应变，得到
这样就知道了内力M与该微段的曲率半径ρ的关系式。可见，弯矩的确决定了该微段的曲率。
而从高等数学知道曲率半径与该点的挠度之间的关系
把该曲率代入前式，得到
此即梁的挠曲线微分方程。这是一个常微分方程。要得到挠曲线方程，需要对该方程进行积分。积分一次得到曲线上任意一点的转角方程
再积分一次得到挠曲线方程
该方程中含有待定系数c和d,具体是多少，这依据不同的边界条件（即该梁如何与外界连接）来确定。例如，对于本文最前面给出来的悬臂梁，其固定端点既没有挠度，也不会有转角，也就是说
代入上式就可以得到两个方程，这两个方程中含有c和d。两个方程，两个未知数，是可以求解的，从而可以完全确定c和d.这样，该梁的挠曲线方程就完全确定了。
上述方法的基本思想是：要想知道整根梁的变形是很困难的，于是从一个微元出发来考察受力与变形的关系。对于每一个微元而言，所给出的弯矩与挠度的关系式一个微分方程。这个微分方程具有普适性，就是说，无论是悬臂梁，还是简支梁，还是外伸梁，或者是实践中任意的一段微梁，它都适用。
既然该方程对于任意的微梁都适用，那么为什么不同的梁其挠曲线不同呢？从物理上来说，是因为不同的梁几何尺寸不用，其边界条件不同。而从数学上来说，如果不给定边界条件，则只能根据微梁得到含有待定系数C和D的积分方程。既然含有待定系数，则挠曲线是一簇曲线，具体是什么未知。而一旦给定边界条件，则可以确定待定系数，从而挠曲线就成为定解。
上述方法总结为下面几个步骤：
（1） 取微段
（2） 根据该微段所满足的几何，物理，平衡关系推出微段满足的力-位移关系的方程。该方程是常微分方程。
（3） 对上述微分方程积分得到含有待定系数的积分方程。
（4） 代入具体梁的边界条件，得到积分方程中的待定系数。从而完全确定挠曲线方程。
上述方法称为微元分析法。该方法在很多工程领域得到了广泛应用。它表明，一个物体虽然貌似复杂，但是每一个微元所满足的规律却是一致的，这是共性。对于微元的规律分析，一般可以得到微分方程。这种微分方程对于复杂结构的任何一点都满足。要得到某实际物体的宏观规律，则需要对该微分方程积分，而这种积分是不定积分，必然含有待定系数。这些待定系数则是由该物体与外界发生关系，被外物所约束来确定的。
微元分析法，从哲学的角度而言，意味着一个连续体的内部相似性。正是因为这种连续性，导致可以使用数学的微分方式来进行分析。从这个层面来说，只要物体是连续的，那么我们就可以取微元来研究其规律。然后使用高等数学的微积分的方式来得到其宏观规律。由于每一客观物体都有空间的广延性，从而具有连续性，从而可微，可以对微段分析来列微分方程。这就是为什么微元分析法具有如此广泛应用的原因所在。
来源：宋博士的博客，版权归作者所有。
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