技术 | 有限元法的发展现状及应用

摘要：简述了有限元法的起源、基本理论及发展现状。有限元法自1943年首次提出以来，有限元理论及其应用得到了迅速发展。发展至今，已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题，由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题，由线性问题扩展到非线性问题。重点总结了有限元法在激光超声研究、机电工程、汽车产品开发、建筑等多个领域的应用。

一、引言

有限元法(FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。

有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；然后对单元(小区域)进行力学分析，最后再整体分析。这种化整为零，集零为整的方法就是有限元的基本思路。

二、有限元法的发展现状

有限元法是R . Courant于1943年首先提出的。自从提出有限元概念以来，有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。

传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的；对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。

在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。

FEM在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX后，有限元法渗透到工程分析的各个领域中，从大型的三峡工程到微米级器件都采用FEM进行分析，在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。

目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差，常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差，与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。

在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果。

在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛，生成的网格布局合理，质量高。

三、 有限元法的应用

有限元法最初应用在求解结构的平面问题上，发展至今，已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题，由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题，由结构力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科，由线性问题扩展到非线性问题。

由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等，由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，其应用的深度和广度都得到了极大的拓展。

3.1  有限元方法在激光超声研究中的应用

在激光热弹机制激发超声的理论研究工作中，大部分工作在求解热传导和热弹方程过程中采用解析计算方法，在数值计算中主要采用显式或隐式有限差分法，而这些文献工作都局限在板材上，当脉冲激光非轴对称地照射到管状材料表面时，用这些方法求解都非常困难。

另外，在激光作用过程中，由于温度的变化，材料的热物理性能也随之发生变化，以上所有的解析方法都无法应用于实际情况。而在数值计算中，有限元方法能够灵活处理复杂的几何模型并且能够得到全场数值解，另外有限元模型能够考虑材料参数随温度变化的实际情况。

3.2  有限元法在机电工程上的应用

在电机中，电流会使绕组发热，涡流损耗和磁滞损耗会使铁芯发热。温度分布不均造成的局部过热，会危及电机的绝缘和安全运行；在瞬态过程中，巨大的电磁力有可能损坏电机的端部绕组。为了准确地预测并防止这些不良现象的产生，都需要进行电磁场的计算，有限元法正是计算电磁场的一种有力工具。

3.3 有限元法在汽车产品开发中的应用

作为制造业的中坚，汽车工业一直是以有限元为主的CAE技术应用的先锋。有限元法在汽车零部件结构强度、刚度的分析中最显著的应用是在车架、车身设计中的应用。车架和车身有限元分析的目的在于提高其承载能力和抗变形能力、减轻其自身重量并节省材料。就整个汽车而言，当车架和车身重量减轻后，整车重量也随之降低，从而改善整车的动力性和经济性等性能。

应用有限元法对整车结构进行分析，可在产品设计初期对其刚度和强度有充分认识，使产品在设计阶段就可保证使用要求，缩短设计试验周期，节省大量的试验和生产费用，是提高产品可靠性既经济又实用的方法之一。它在汽车设计及产品开发中的应用使得汽车在轻量化、舒适性和操纵稳定性方面得到改进和提高。

3.4 有限元法在建筑方面的应用

现今有限元技术在建筑业也凸显了它的重大作用。天津大学从事有限元的研究人员对河北古寺塔进行了地震反应分析。研究发现，水平地震作用下，塔结构在下部会出现拉应力区域，更易开裂、破坏，而且强烈地震的鞭梢效应会导致塔刹破坏，因此提出对塔体抗震加固时可采用塔体加箍、碳纤维布加固等措施。

3　结束语

有限元法在制造业、医学、物流、建筑等各领域中都得到了广泛应用，但是由于计算能力等条件的限制，国内有限元法的应用相比于国外而言还有一定的差距。不过随着我国高性能计算机和计算技术的日益发展，计算能力逐步提高，有限元法将成为更有效的一种分析方法。