矩阵力学和波动力学，揭示量子力学的物质基础和作用原理

1926年10月，哥本哈根的天气已开始转凉。在哥本哈根大学理论物理研究所东配楼的一间客房里，一位中年人虚弱地躺在床上，另一位中年人正坐在床头，盯着他的眼睛认真地说：“但是你肯定必须理解……”

坐在床头的中年人就是这个研究所的主人——量子力学哥本哈根学派的领袖、丹麦物理学家玻尔。躺在床上的则是奥地利物理学家薛定谔。他应玻尔之邀前来哥本哈根，介绍他刚刚建立的量子力学波动方程，没想到等待他的是整个哥本哈根学派对其新理论的批判与质疑。连续数天的舌战终于使薛定谔心力交瘁，病倒在哥本哈根的寒风中。玻尔夫妇悉心地照顾着薛定谔，然而即便是在病床前，玻尔还是忍不住再次把话题引回到物理学上，试图说服薛定谔接受自己的观点……

那么，薛定谔与哥本哈根学派的分歧究竟在哪里呢？事实上，他们的矛盾刚好代表了量子力学建立过程中的两条研究路线的分歧。

矩阵力学：从经验出发

19世纪末，随着电磁学和统计热力学的建立和完善，物理学家试图将这两种理论统一到一起，来解释物理学中的黑体辐射问题。从不同的模型出发，他们得到了两个公式。奇怪的是，这两个公式，一个刚好与高温状态下的实验数据高度吻合，但随着温度降低就不那么准确了；而另一个则刚好相反。

所有物理学家都相信，一切黑体辐射现象应该可以用一个统一的公式来解释。抱着这种信念，德国物理学家普朗克以这两个公式为基础，用被称为“内插法”的数学技术凑出了一个在所有温度下都与实验精确吻合的公式。但当他回过头来试图从物理上理解这个公式时，却得出一个连他自己都为之震惊的结论：这个公式意味着黑体在吸收或辐射能量的过程中，其能量的改变不是连续的，而是只能以hν为单位增减，其中ν是黑体吸收或辐射的电磁波的频率，h是一个经验常数——即后来著名的普朗克常数。普朗克的工作也因此成为量子物理学的开端。

普朗克关于黑体能量变化不连续的观点在物理学界引起了广泛争议，但爱因斯坦却意识到，这个理论恰好可以解释当时另一个令人百思不得其解的实验现象，即光电效应。显然，光能转化成了电子的动能。但奇怪的是，单个电子的动能似乎只与入射光的频率有关，如果频率不变，无论怎样提高照射强度和照射时间，都只能改变溢出电子的数量，而无法得到能量更高的单个电子。由于黑体问题在微观上同样是关于原子如何吸收和释放电磁辐射能量的问题，爱因斯坦想到了电子吸收光辐射并将其转化为动能的过程可能也必须遵循同样的规律。他把普朗克的量子代入后，果然完美地解释了光电效应现象。

而另一个受到普朗克启发的就是玻尔。当时他正跟随英国物理学家卢瑟福研究原子结构问题。卢瑟福根据实验推测原子的结构就像一个行星系统，中间是一个集中了几乎全部原子质量的原子核，核外围绕着若干像卫星一样绕核旋转的电子。然而这个模型存在一个致命缺陷：按照经典电磁学，做圆周运动的电子将会激发出电磁波，而电磁波会不断带走电子的能量，使其最终失去全部动能，坠落到原子核上。卢瑟福无法回应这个质疑。而玻尔发现，如果hν的能量关系是微观世界的普遍规律，那么是否绕核旋转电子的能量变化也必须遵循这一规律。如果电子的动能只能以hν为单位改变，那么它们不但无法如经典理论预言的那样连续释放电磁波，而且它们在核外的空间分布也将是不连续的，只能存在于一些确定的圆周轨道上。当电子吸收或放出能量时，它就会瞬时地从一条轨道跳到另一条轨道，两条轨道之间的能量差就等于hν，其中ν为电子吸收或放出的那个光子的频率。在此期间，玻尔偶然了解到氢原子光谱的一些研究成果，并发现用他的理论刚好可以完美地解释氢原子光谱的成因。正因如此，尽管仍然让人觉得匪夷所思，但在实验事实的支持下，越来越多的人倾向于将玻尔理论当成一个事实来接受。

玻尔的成功一举奠定了量子论在解释微观世界时的统治地位，也使玻尔一跃成为这一领域的权威。此后10年，大批物理学家汇聚到玻尔领导的哥本哈根大学理论物理研究所，形成了哥本哈根学派。其中，德国物理学家海森堡注意到，玻尔理论中的电子轨道、旋转频率等物理量在真实的实验中是无法测量的，真正能够被测量到的是原子光谱的频率、强度，以及与之相对应的能极差、电子在不同能级间的跃迁几率等物理量。海森堡相信，物理理论只应讨论可以被经验确实感知的实体——这一信条来自于19世纪末的奥地利物理学家和哲学家马赫。海森堡决定按照这一原则改造量子理论。

海森堡使用的是傅里叶变换的数学方法。按照这种方法，可以把每一个运动都分解成若干个简谐振动的叠加来理解。经过分解，旧理论中表示位移、动量的物理量被分解为由一系列表示振动的函数构成的多项式，每个函数对应于一个可能出现的跃迁状态，振动的频率就是跃迁时放出或吸收的光子的频率，振幅代表这个跃迁状态可能出现的几率，与相应频率的光线在光谱中的亮度相对应，这样，新理论中出现的全部变量就都变成了可以直接通过实验观测的。由于在这套体系中，所有传统物理量都被写成了多项式形式，因此涉及大量多项式相乘的运算。海森堡的同事波恩和约当注意到，把这套体系用高等数学中处理多项式相乘的工具矩阵来表示再合适不过了。1925年，他们和海森堡一起完成了将新量子论改写为矩阵的工作，即今天我们所说的量子力学的第一套数学形式：矩阵力学。

从矩阵力学的建立过程可以看到，事实经验在其中起到了最关键的作用。普朗克的能量量子和爱因斯坦的光量子都是为了解释实验中出现的反常现象而被迫创造出的新概念；玻尔理论的成功更直接得益于氢原子光谱的经验证据的支持；而海森堡则干脆声称其理论只针对实验中的可观测量。相反，在这条路径中，物理理论图景的发展却一直远远滞后，甚至可以说从始至终就是模糊不清的。普朗克的能量量子概念就连他自己也觉得难以理解；玻尔自始至终也无法说清原子核外电子按固定轨道分布的原因及其跃迁机制；至于海森堡，甚至以“摒弃形而上学假设”为旗帜，要求把讨论严格限制在可观测量上。

波动力学：寻求理论上的统一

与矩阵力学相对的另一条研究路线是波动力学。波动力学的最初线索来自于物理学家们试图为奇异而纷乱的量子现象找到一个统一而可理解的理论解释的努力。

前文提到，玻尔的量子化原子模型因为可以完美地解释氢原子光谱的成因，因而被认为是成功的。但是更进一步地追问：核外电子为什么只能待在那几条特定的轨道上？这些特定轨道的半径又为什么会取这样的一些特定值？玻尔一直无法回答，直到1923年法国学者德·布罗意给出了解释。

德·布罗意的灵感来自于爱因斯坦。当年爱因斯坦提出光量子理论后即遭到了一个诘问：光究竟是波还是粒子？对此，爱因斯坦本人的回答是：光既是波，也是粒子，这二者并非互不相融；未来，我们必将得到一个类似于现有波动理论和微粒理论的融合体的新的辐射理论。这就是著名的波粒二象性假说。而德·布罗意由此联想到，如果一直被认为是波动的光同时也具有粒子性，那么一直被认为是微粒的物质粒子，会不会也具有某种波动性呢？德·布罗意假设，对于每一个微观粒子，比如电子，都存在一个与之相对应的波，并称之为“物质波”。当粒子运动时，这个波与其一起运动，粒子的速度等于波速，粒子的位置就是波的波包所在的位置，而粒子的动量和能量则与波的波长和频率相关。这样一来，就可以很自然地理解玻尔模型中核外电子特定的轨道取值了。因为尽管作为粒子，电子可以在距离原子核任意远的轨道上绕核旋转；但是作为波，只有一些特定的轨道才能满足它的驻波条件——即当它围绕轨道传播一周后，刚好能够和上一周的波峰、波谷完全重合。

经过计算，按照物质波理论算出的核外电子轨道与玻尔根据原子光谱反推出的给定值完全一致，这让包括爱因斯坦在内的很多物理学家认为看到了对量子论中为拯救现象而做出的各种古怪规定给出真正物理解释的希望。更有人提议彻底放弃粒子图景，用波来统一地解释世界，薛定谔就是这种主张的支持者之一。按照德·布罗意的想法，每个粒子都伴随着一个波，波和粒子同时存在。而薛定谔等人则主张根本不存在粒子，物质的本质就是波，所谓“电子”之类的概念只不过是物质波的某些运动给我们造成的错觉。不仅如此，薛定谔还在德·布罗意给出的能量、动量条件的基础上推出了物质波的波动方程。由于波对当时的物理学家来说早已是一个驾轻就熟的研究领域，只要有波动方程，他们就能轻易计算出这个波在一切时刻的状态以及它和其他物质的相互作用方式，因此薛定谔的理论在主流物理学家中备受关注，在此基础上发展出了量子力学的第二种数学形式：波动力学。

有趣的是，与矩阵力学的发展过程正相反，在波动力学的建立过程中几乎没有受到多少来自实验方面的引导。除了依靠一些广为人知的实验事实对理论作必要的验证和支持，德·布罗意和薛定谔等人主要的创新性洞见几乎都是从对物质本原的哲学思考中得到的。他们的出发点即是揭示量子效应背后的物质基础和作用原理，而不是满足于总结和描述可以看到的表面规律。