刚度元件的质量对振动系统固有频率的影响

在研究结构动态特性时，一般情况下，分析者并不考虑刚度元件的质量对结构固有频率的影响，在工程中，这样的分析方式是满足精度要求的。但如果考虑这个影响，情况又该如何呢？笔者以单自由度振动系统为例，开展以下讨论。

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01 不考虑刚度元件的质量

假设初始力学模型为单自由度弹簧振子系统，各参数如下：

有限元建模，在ANSYS中使用mass21作为振子，使用combin14作为弹簧，模拟结果如下，1.5915Hz。

APDL脚本如下：

FINISH$/CLEAR$!UNIT s-m-kg-N
/FILNAME,spring$/TITLE,COMBIN14
/PREP7
ET,1,COMBIN14,,,2
ET,2,MASS21,,,4
R,1,100$R,2,1
N,1,0,0$N,2,0.1,0
TYPE,1$REAL,1$E,1,2
TYPE,2$REAL,2$E,2
!
D,1,ALL$D,2,UY
FINISH
!
/SOLU
ANTYPE,MODAL
MODOPT,LANB,1$MXPAND,1
SOLVE
!
/POST1
SET,LIST

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02 刚度元件的质量为集中质量

现考虑弹簧的质量影响，但作为集中质量考虑。有限元建模，使用两个刚度为200N/m的弹簧串联，在两弹簧之间插入质量。模拟结果如下。

质量是影响的，但即使当刚度元件和振子质量一样时，系统频率才降低12.6%，影响并不是很大。

APDL脚本如下：

FINISH$/CLEAR!UNIT s-m-kg-N
/FILNAME,spring$/TITLE,COMBIN14
/PREP7
ET,1,COMBIN14,,,2
ET,2,MASS21,,,4
R,1,200$R,2,1e-5  !!
R,3,1
N,1,0,0
N,2,0.1,0
N,3,0.2,0
TYPE,1$REAL,1
E,1,2$E,2,3
TYPE,2$REAL,2$E,2
TYPE,2$REAL,3$E,3
!
D,1,ALL$D,ALL,UY
FINISH
!
/SOLU
ANTYPE,MODAL
MODOPT,LANB,2$MXPAND,2
SOLVE
!
/POST1
SET,LIST

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03 刚度元件的质量为分布质量

现考虑弹簧的质量影响，并且作为分布质量考虑。（其实是质量分成了11份）。有限元建模，使用梁单元作为弹簧，通过改变密度来实现不同质量的对比分析，模拟结果如下。

质量是影响的，但即使当刚度元件和振子质量一样时，系统频率才降低14%，影响并不是很大。

APDL脚本如下：

FINISH$/CLEAR
!UNIT s-m-kg-N
/FILNAME,think about equivalent mass
/TITLE,LINK1
/PREP7
ET,1,LINK1
ET,2,MASS21,,,4
MP,EX,1,1E7
MP,PRXY,1,0.3
MP,DENS,1,10E-6  !!
R,1,1E-6$R,2,1
N,11,0,0
N,1,0.01,0
N,2,0.02,0
N,3,0.03,0
N,4,0.04,0
N,5,0.05,0
N,6,0.06,0
N,7,0.07,0
N,8,0.08,0
N,9,0.09,0
N,10,0.1,0
TYPE,1$MAT,1$REAL,1
E,11,1
*DO,I,1,9
E,I,I+1
*ENDDO
TYPE,2$REAL,2$E,10
!
D,11,ALL$D,ALL,UY
FINISH
!
/SOLU
ANTYPE,MODAL
MODOPT,LANB,10
MXPAND,10
SOLVE
!
/POST1
SET,LIST

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事实上，本文的分布质量并不是真正意义上的。要想完全说明这个问题，意味着质量会被分成无数份，显然仿真是做不到的，只能在理论上进行分析。根据能量法求得公式：

笔者建议，在结构动态分析时，某些情况下，如果刚度元件的质量非常可观的话，还是应该加以考虑的，不过可以简化为集中质量，不会造成很大的计算困难，并且误差会缩小很多。

比如，假设弹簧质量是振子的10倍时，如果忽略刚度元件的质量，固有频率和